Trigonometriese grafieke — Graad 11 Wiskunde (KABV)

y = a sin k(x + p), y = a cos k(x + p) en y = a tan k(x + p) — amplitude, periode, horisontale skuif, asimptote, en die lees van die grafieke om vrae te beantwoord.

1Die drie moedergrafieke

y = sin x · amplitude 1, periode 360°
y = cos x · amplitude 1, periode 360°
y = tan x · geen amplitude, periode 180°

2Die effek van a — amplitude

y = sin x vergelyk met y = 2 sin x. Die amplitude verdubbel; die periode bly onveranderd.

Amplitude = |a|. Dit rek die grafiek vertikaal. ’n Negatiewe a reflekteer dit in die x-as.

3Die effek van k — periode

periode van sin en cos = 360°/(|k|) · periode van tan = 180°/(|k|) (k ≠ 0)

y = sin x vergelyk met y = sin 2x. As k verdubbel, halveer die periode na 180°.

⚠️

k verander nie die amplitude nie en a verander nie die periode nie. Hou die twee effekte apart.

4Die effek van p — horisontale skuif

y = cos x vergelyk met y = cos(x + 60°) — ’n skuif van 60° na LINKS.

y = cos(x + 60°) skuif 60° na links; y = cos(x − 60°) skuif na regs. Die teken binne die hakie is die teenoorgestelde van die rigting wat jy dalk sou verwag.

5Die tangensgrafiek

y = tan x op [−360° ; 360°], met asimptote by −270°, −90°, 90° en 270°.

tan het elke 180° asimptote, vanaf 90°, en geen maksimum of minimum nie — dus het dit geen amplitude nie en sy waardeversameling is y ∈ ℝ.

6’n Trigonometriese grafiek lees

Uitgewerkte voorbeeldGee vir y = 2 sin x op [−360° ; 360°] die amplitude, periode en waardeversameling

1
Amplitude = |2| = 2.
Die grafiek bereik 2 en −2.
2
Periode = 360°/1 = 360°.
k = 1.
3
Waardeversameling: −2 ≤ y ≤ 2.
Tussen die twee uiterstes, eindpunte ingesluit.

Uitgewerkte voorbeeldGee vir y = sin 2x die periode en die aantal siklusse in [0° ; 360°]

1
Periode = 360°/2 = 180°.
2
360° ÷ 180° = 2 volledige siklusse.
’n Volle siklus elke 180° pas presies twee keer in 360°.

💡

Skryf altyd die periode en amplitude neer voordat jy teken. Stip dan die sleutelpunte elke kwartperiode — dit is waar die maksimums, minimums en x-afsnitte lê.

7Twee parameters gelyktydig: y = a sin k(x + p)

Die ATP vra vir sketse met hoogstens twee parameters op ’n slag. Neem hulle in ’n vaste volgorde, en die grafiek bou homself.

Vir y = a sin k(x + p) — en net so vir cos en tan:
amplitude = |a| · periode = 360°/(|k|) (tan: 180°/(|k|)), k ≠ 0 · horisontale skuif = p eenhede LINKS

a rek dit vertikaal. ’n Negatiewe a reflekteer dit in die x-as.
k druk dit horisontaal saam. k = 2 halveer die periode na 180°, dus kry jy twee volle golwe in 360°.
p skuif dit sywaarts — links vir positiewe p, regs vir negatiewe p, sodra k as faktor uitgehaal is.

⚠️

Let op die hakie. y = a sin(kx + p) is NIE p eenhede geskuif nie — haal eers die k uit: a sin k(x + p/k), dus is die skuif p/k. Wanneer k = 1 is die twee vorme dieselfde, en daarom word die meeste Graad 11-vrae as y = a sin(x + p) geskryf.

Uitgewerkte voorbeeldSkets y = 2 sin(x − 30°) vir x ∈ [0° ; 360°]. Gee die amplitude, periode en skuif.

1
Amplitude = 2, dus loop die kromme van −2 tot 2.
|a| = 2
2
k = 1, dus is die periode steeds 360°.
Een volledige golf oor die interval.
3
p = −30°, dus skuif die hele grafiek 30° na REGS.
’n Negatiewe p skuif na regs.
4
Die nulpunte skuif van 0°, 180°, 360° na 30°, 210° en 390° — dus is hulle binne [0° ; 360°] 30° en 210° (390° lê buite die interval).
Tel 30° by elke sleutel-x-waarde, en behou dan slegs dié in die interval.
5
Die maksimum skuif van 90° na 120°, en die minimum van 270° na 300°.
Dieselfde skuif geld vir die draaipunte.

Uitgewerkte voorbeeldGee vir y = 3 cos 2x die amplitude, periode, en die x-waardes van die maksimums in [0° ; 360°].

1
Amplitude = 3
2
Periode = 360° ÷ 2 = 180°
k = 2 halveer die periode.
3
’n Cosinusgrafiek is by ’n maksimum aan die begin van elke periode.
4
Maksimums by x = 0°, 180° en 360°.
Twee volle golwe pas in die interval.

⚠️

Om die periode met k te vermenigvuldig in plaas van te deel. k = 2 maak die golf vinniger, dus word die periode kleiner: 360° ÷ 2 = 180°. As jou periode groter as 360° uitkom vir k > 1, het jy die verkeerde kant toe gedeel.

Oefeninge

Werk elkeen uit en klik dan om die antwoord te sien.

📄 Werkkaart ✅ Memo 📝 Eksamenvraestel 🗝️ Nasienriglyn

1
Skryf die amplitude van y = 2 sin x neer.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
2
2
Skryf die periode van y = sin 2x neer.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
360°/2 = 180°
3
Skryf die waardeversameling van y = 2 sin x neer.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
−2 ≤ y ≤ 2
4
Beskryf die transformasie van y = cos x na y = cos(x + 60°).
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
’n Skuif van 60° na links
5
Skryf die periode van y = tan 2x neer.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
180°/2 = 90°
6
Skryf die vergelykings van die asimptote van y = tan x vir x ∈ [0° ; 360°] neer.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
x = 90° en x = 270°
7
Hoeveel volledige siklusse voltooi y = sin 2x in [0° ; 360°]?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
2
8
Skryf die waardeversameling van y = tan x neer.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
y ∈ ℝ
9
Skryf vir y = 4 sin 3x die amplitude en die periode neer, en sê hoeveel volledige golwe in [0° ; 360°] verskyn.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Amplitude 4 ✓; periode = 360° ÷ 3 = 120° ✓; drie volledige golwe ✓
10
Beskryf die transformasie van y = cos x na y = −2 cos(x + 45°) volledig.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Die amplitude word 2 ✓; die grafiek word in die x-as gereflekteer omdat a negatief is ✓; en dit skuif 45° na LINKS ✓
11
Die grafiek van y = a sin kx, waar a > 0 en k > 0, het amplitude 5 en periode 90°. Bepaal a en k, en skryf die vergelyking neer.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
a = 5 ✓; 360° ÷ k = 90° dus k = 4 ✓; y = 5 sin 4x ✓