Differensiasie — Graad 12 Wiskunde (KABV)

Die magsreël en die maniere waarop Graad 12-eksamens dit toepas — die differensiasie van ’n polinoom, die herskryf van wortelvorme en breuke eerste, eerste beginsels, gradiënte en raaklyne, en draaipunte — elkeen volledig uitgewerk, met ’n werkblad.

Differensiasie bepaal die gradiënt van ’n kromme by enige punt. Die resultaat, die afgeleide, is self ’n nuwe funksie wat jy by enige x kan bereken. In Graad 12 ontsluit dit raaklyne, tempo van verandering en optimering — ’n groot deel van Vraestel 1. Hierdie gids dek die reël en die maniere waarop eksamens dit gebruik.

Die afgeleide gee die gradiënt van die raaklyn wat net aan die kromme by ’n punt P raak.

1Die magsreël

Vir ’n term axⁿ, vermenigvuldig met die mag, en verminder dan die mag met een:

as y = axⁿ dan dy/dx = n·a·x^{n − 1}

Die afgeleide van ’n konstante is 0 (’n plat lyn het ’n gradiënt van nul).
Die afgeleide van 5x is 5 (x¹ word x⁰ = 1).
Differensieer ’n som term vir term.

2Tipe 1: Differensieer ’n polinoom

Uitgewerkte voorbeeldVoorbeeld 1: differensieer y = 3x³ − 5x² + 4x − 7

1
3x³ → 9x².
×3, verminder die mag na 2.
2
−5x² → −10x.
×2, verminder die mag na 1.
3
4x → 4; −7 → 0.
x¹→x⁰=1; die afgeleide van ’n konstante is 0.
4
dy/dx = 9x² − 10x + 4.
Kombineer die terme.

3Tipe 2: Herskryf eers wortelvorme en breuke

Die magsreël werk slegs op magte, dus herskryf 1/x as x⁻¹ en √x as x^1/2 voordat jy differensieer.

Uitgewerkte voorbeeldVoorbeeld 2: differensieer y = √x + 2/x

1
Herskryf: y = x^1/2 + 2x⁻¹.
Verander die wortelvorm en breuk in magte.
2
x^1/2 → 1/2x^(−1/2); 2x⁻¹ → −2x⁻².
Pas die magsreël op elkeen toe.
3
dy/dx = 1/2x^(−1/2) − 2x⁻² = 1/(2√x) − 2/x².
Herskryf terug in wortelvorm/breukvorm as dit gevra word.

4Tipe 3: Eerste beginsels (vanuit die definisie)

Die definisie van die afgeleide: f′(x) = lim_h→0 (f(x + h) − f(x))/h.

Uitgewerkte voorbeeldVoorbeeld 3: differensieer f(x) = x² vanuit eerste beginsels

1
f′(x) = lim_h→0 (f(x + h) − f(x))/h
Begin altyd by die definisie.
2
= lim_h→0 ((x + h)² − x²)/h = lim_h→0 (2xh + h²)/h
Brei uit; die x²-terme kanselleer uit.
3
= lim_h→0 (2x + h)
Deel deur h (h ≠ 0 totdat die limiet geneem word).
4
= 2x
Laat h eers nou na nul gaan — die lim-teken bly op elke reël tot by hierdie een.

5Tipe 4: Gradiënt en raaklyn by ’n punt

Uitgewerkte voorbeeldVoorbeeld 4: bepaal die gradiënt van y = x² − 4x by x = 3

1
Differensieer: dy/dx = 2x − 4.
Die afgeleide gee die gradiëntfunksie.
2
By x = 3: 2(3) − 4 = 2.
Vervang x = 3.
3
Die gradiënt van die raaklyn daar is 2.
Die afgeleide se waarde = die raaklyn se gradiënt.

6Tipe 5: Draaipunte (gradiënt = 0)

Uitgewerkte voorbeeldVoorbeeld 5: bepaal die draaipunte van y = x³ − 3x

1
dy/dx = 3x² − 3. Stel = 0: 3x² − 3 = 0.
Draaipunte kom voor waar die gradiënt nul is.
2
x² = 1 → x = 1 of x = −1.
Los op.
3
y-waardes: by x=1, y = 1 − 3 = −2; by x=−1, y = −1 + 3 = 2. Punte (1 ; −2) en (−1 ; 2).
Vervang terug vir die y-koördinate.

💡

Herskryf lastige terme eers as magte (breuke → negatiewe magte, wortelvorme → breukmagte). Dan geld die meganiese magsreël vir alles.

⚠️

Verminder die mag, moenie dit weglaat nie. Die afgeleide van x³ is 3x², nie 3x of 3 nie. Slegs die mag verminder met presies een.

Differensiasie is vinnige punte; die uitdaging is wat daarna kom (raaklyne, draaipunte, optimering). Oefen die werkblad sodat die differensiasiestap vinnig en foutloos is.

7Eerste beginsels: die vier vorme wat jy moet ken

f′(x) = lim_h→0 (f(x + h) − f(x))/h

Die ATP skryf presies vier vorme voor, en ’n vraag oor eerste beginsels is vyf of ses punte werd. Die metode verander nooit nie — net die algebra in die middel. In elkeen moet die h in die noemer uitkanselleer voordat jy h → 0 laat gaan — as dit nie gebeur nie, het jy ’n algebraïese fout gemaak. Skryf die limiet op elke reël totdat jy dit neem, presies soos hieronder.

Uitgewerkte voorbeeldBepaal f′(x) vanuit eerste beginsels as f(x) = ax² + bx + c

1
f(x + h) = a(x + h)² + b(x + h) + c = ax² + 2axh + ah² + bx + bh + c.
Brei volledig uit voordat jy aftrek.
2
f(x + h) − f(x) = 2axh + ah² + bh.
Die ax², bx en c kanselleer almal uit.
3
f′(x) = lim_h→0 (2axh + ah² + bh)/h = lim_h→0 (h(2ax + ah + b))/h
Elke oorblywende term het ’n faktor h — dit is wat dit laat werk. Hou die limiet op hierdie reël.
4
= lim_h→0 (2ax + ah + b)
Kanselleer die h — eers nou is dit veilig om h → 0 te laat gaan.
5
= 2ax + b
Die konstante c het verdwyn, en daarom verander ’n vertikale skuif nooit die gradiënt nie.

Uitgewerkte voorbeeldBepaal f′(x) vanuit eerste beginsels as f(x) = ax³

1
f(x + h) = a(x + h)³ = a(x³ + 3x²h + 3xh² + h³).
Verhef die hakie tot die derdemag.
2
f(x + h) − f(x) = a(3x²h + 3xh² + h³).
Die ax³-terme kanselleer uit.
3
f′(x) = lim_h→0 (ah(3x² + 3xh + h²))/h = lim_h→0 a(3x² + 3xh + h²)
Haal h as faktor uit en kanselleer dit.
4
= 3ax²
Laat h → 0: die 3xh- en h²-terme verdwyn.

Uitgewerkte voorbeeldBepaal f′(x) vanuit eerste beginsels as f(x) = a/x

1
f(x + h) − f(x) = a/(x + h) − a/x = (ax − a(x + h))/(x(x + h)) = −ah/(x(x + h)).
Een gemeenskaplike noemer — dit is die stap wat die vraag beslis. Die ax-terme kanselleer uit.
2
f′(x) = lim_h→0 −ah/(hx(x + h)) = lim_h→0 −a/(x(x + h))
Deling deur h kanselleer die h in die teller.
3
= −a/x²
Laat h → 0: x(x + h) word x².

Uitgewerkte voorbeeldBepaal f′(x) vanuit eerste beginsels as f(x) = c

1
f(x + h) − f(x) = c − c = 0.
’n Konstante funksie het oral dieselfde waarde.
2
f′(x) = lim_h→0 0/h = 0
’n Horisontale lyn het ’n gradiënt van nul — soos dit moet.

⚠️

Om lim_h→0 slegs op die laaste reël te skryf. Die limietnotasie moet op elke reël verskyn totdat jy h werklik na nul laat gaan — nasieners trek punte af as dit weggelaat word, en dit kos niks om dit te behou nie.

💡

Moet nooit h = 0 invervang voordat jy uitgekanselleer het nie. Jy kry 0/0, wat ongedefinieerd is. Die hele doel van die algebra is om die h in die noemer eers uit te kanselleer, en dan die limiet te neem.

Oefeninge

Werk elkeen uit en klik dan om die antwoord te sien.

📄 Werkkaart ✅ Memo 📝 Eksamenvraestel 🗝️ Nasienriglyn

1
Differensieer y = x⁴. (magsreël)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
4x³
2
Differensieer y = 5x³ − 2x² + 7. (polinoom)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
15x² − 4x
3
Differensieer y = 2x² − 3x + 9. (polinoom)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
4x − 3
4
Differensieer y = 3/x (skryf as 3x⁻¹). (herskryf)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
−3x⁻² = (−3)/x²
5
Differensieer y = √x (skryf as x^1/2). (herskryf)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
1/2x^(−1/2) = 1/(2√x)
6
Differensieer f(x) = 3x vanuit eerste beginsels. (eerste beginsels)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
f′(x) = lim_h→0 (3(x + h) − 3x)/h = lim_h→0 3h/h = lim_h→0 3 = 3
7
Gradiënt van y = x² + 2x by x = 1. (gradiënt)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
2x + 2 by x=1 = 4
8
Gradiënt van y = x³ by x = 2. (gradiënt)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
3x² by x=2 = 12
9
Bepaal x waar y = x² − 6x ’n draaipunt het. (draaipunt)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
2x − 6 = 0 → x = 3
10
Bepaal die draaipunte van y = x³ − 12x. (draaipunt)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
3x² − 12=0 → x = ±2 → (2 ; −16) en (−2 ; 16)
11
Bepaal f′(x) vanuit eerste beginsels as f(x) = 2x² − 3x.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
f(x + h) = 2(x + h)² − 3(x + h) = 2x² + 4xh + 2h² − 3x − 3h ✓; f(x + h) − f(x) = 4xh + 2h² − 3h ✓; ÷ h: 4x + 2h − 3 ✓; lim soos h→0 ✓; f′(x) = 4x − 3 ✓
12
Bepaal f′(x) vanuit eerste beginsels as f(x) = 3/x.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
f′(x) = lim_h→0 (3/(x + h) − 3/x)/h ✓
= lim_h→0 (3x − 3(x + h))/(hx(x + h)) = lim_h→0 −3h/(hx(x + h)) ✓✓
= lim_h→0 −3/(x(x + h)) ✓
= −3/x² ✓
13
Gebruik eerste beginsels om aan te toon dat die afgeleide van f(x) = 7 gelyk is aan 0.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
f(x + h) − f(x) = 7 − 7 = 0 ✓; 0 ÷ h = 0, dus f′(x) = 0 ✓
14
Verduidelik waarom jy NIE h = 0 aan die begin van ’n vraag oor eerste beginsels mag invervang nie.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Dit gee 0 ÷ 0, wat ongedefinieerd is ✓; die h in die noemer moet eers deur vereenvoudiging uitgekanselleer word ✓