Die hiperbool en die eksponensiële grafiek — Graad 10 (KABV)

y = a/x en y = ab^x skets, asimptote en afsnitte bepaal, en die effek van a, b en ’n vertikale skuif q lees — die twee geboë grafieke van Graad 10.

Ook bekend as: omgekeerde grafieke · asimptote · eksponensiële groei

Graad 10 voeg twee krommes by die reguit lyn en die parabool. Albei word op dieselfde manier geskets: bepaal die asimptote, bepaal enige afsnitte, stip een of twee punte, en teken dan die vorm.

1Die hiperbool: y = a/x

y = 6/x. Albei takke kom al hoe nader aan die asse, maar raak hulle nooit nie.

y = a/x + q
vertikale asimptoot x = 0 · horisontale asimptoot y = q

’n Asimptoot is ’n lyn waaraan die kromme al hoe nader kom soos dit na die kant of op en af uitloop. Die hiperbool en die eksponensiële grafiek in hierdie les sny nooit hulle asimptote nie.
Vir die MOEDERGRAFIEK y = a/x (dit wil sê, q = 0): as a > 0, lê die takke in kwadrante 1 en 3; as a < 0, lê hulle in kwadrante 2 en 4. Om q by te tel, skuif die hele grafiek op of af, dus kan ’n geskuifde hiperbool in ander kwadrante instrek.
Daar is geen y-afsnit nie — x kan nooit 0 wees nie, want jy kan nie deur nul deel nie.

Uitgewerkte voorbeeldSkets y = 6/x

1
Asimptote: x = 0 en y = 0.
Die standaardhiperbool het die asse as sy asimptote.
2
a = 6 > 0, dus lê die takke in kwadrante 1 en 3.
3
Stip ’n paar punte: (1 ; 6), (2 ; 3), (6 ; 1) — en (−1 ; −6), (−2 ; −3).
Kies x-waardes wat netjies in 6 deel.
4
Teken twee gladde takke wat die asse nader.
Moet nooit die kromme ’n asimptoot laat raak nie.

Uitgewerkte voorbeeldBepaal die asimptote van y = 4/x − 3

1
Vertikale asimptoot: x = 0.
Onveranderd — die noemer is steeds x.
2
Horisontale asimptoot: y = −3.
Die hele grafiek het 3 afgeskuif, dus q = −3.

⚠️

’n Hiperbool het nooit a y-afsnit nie, en y = a/x + q bereik nooit y = q nie. As jou skets ’n asimptoot raak, is dit verkeerd.

2Die eksponensiële grafiek: y = ab^x

y = 2ˣ. Dit styg steil na regs en plat na links af na y = 0 toe, sonder om dit ooit te raak.

y = a·b^x + q
horisontale asimptoot y = q · y-afsnit by x = 0

Met a > 0: as b > 1, is die grafiek stygend (groei); as 0 < b < 1, is dit dalend (verval). ’n Negatiewe a draai die kromme om oor sy asimptoot, dus doen elke geval die teenoorgestelde. Die grondtal self is altyd b > 0, b ≠ 1.
Daar is een horisontale asimptoot, y = q. Of daar ’n x-afsnit is, hang af van a, b en q: los a·b^x + q = 0. y = 3·2^x − 4 sny wel die x-as; y = 3·2^x + 4 sny dit nooit nie, omdat 3·2^x altyd positief is.
Elke eksponensiële grafiek van die vorm y = b^x gaan deur (0 ; 1), omdat b⁰ = 1.

Uitgewerkte voorbeeldSkets y = 2^x

1
Asimptoot: y = 0.
q = 0, dus die x-as.
2
y-afsnit: 2⁰ = 1, wat (0 ; 1) gee.
Elke sulke grafiek gaan deur (0 ; 1).
3
Punte: (1 ; 2), (2 ; 4), (3 ; 8); en (−1;½), (−2;¼).
Negatiewe x gee klein positiewe waardes — nooit negatief nie.
4
Teken ’n gladde kromme wat na regs styg en na links afplat na y = 0 toe.

Uitgewerkte voorbeeldBepaal die y-afsnit en asimptoot van y = 3·2^x − 4

1
Asimptoot: y = −4.
q = −4.
2
y-afsnit: laat x = 0 → y = 3(1) − 4 = −1.
b⁰ = 1, dus wys die a-waarde deur.
3
Die y-afsnit is (0 ; −1).

💡

Vir enige grafiek: die y-afsnit kom daarvan om x = 0 te stel, en die x-afsnit daarvan om y = 0 te stel. Daardie een reël dek al vier Graad 10-funksies.

Oefeninge

Werk elkeen uit en klik dan om die antwoord te sien.

📄 Werkkaart ✅ Memo 📝 Eksamenvraestel 🗝️ Nasienriglyn

1
Wat is die asimptote van y = 6/x?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
x = 0 en y = 0
2
Wat is die asimptote van y = 4/x − 3?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
x = 0 en y = −3
3
In watter kwadrante lê y = 6/x?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
1 en 3 (aangesien a > 0)
4
In watter kwadrante lê y = −5/x?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
2 en 4 (aangesien a < 0)
5
Waarom het ’n hiperbool geen y-afsnit nie?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
x kan nie 0 wees nie — jy kan nie deur nul deel nie.
6
Bepaal y wanneer x = 3 vir y = 6/x.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
y = 2
7
Wat is die y-afsnit van y = 2^x?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
(0 ; 1)
8
Wat is die asimptoot van y = 2^x + 5?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
y = 5
9
Bepaal die y-afsnit van y = 3·2^x − 4.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
y = 3(1) − 4 = −1, dus is die afsnit (0 ; −1)
10
Neem y = (½)^x toe of af?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Neem af — die grondtal is tussen 0 en 1.