Inverse funksies — Graad 12 Wiskunde (KABV)

Die bepaling van die inverse van ’n lyn, ’n parabool en ’n eksponensiële funksie, waarom y = x² ’n beperkte definisieversameling nodig het, en hoe om te sê of ’n inverse ’n funksie is.

Die inverse maak die funksie ongedaan. Elke (x ; y) op f word (y ; x) op f⁻¹, dus is die grafiek van f⁻¹ die refleksie van f in die lyn y = x.

1Die metode (drie stappe, elke keer)

Skryf die funksie as y = …
Ruil x en y om.
Maak y die onderwerp — dit is f⁻¹.

h(x) = 3x − 6 en sy inverse. Elkeen is die spieëlbeeld van die ander in die stippellyn y = x.

2Inverse van ’n reguit lyn

Uitgewerkte voorbeeldh(x) = 3x − 6. Bepaal h⁻¹

1
y = 3x − 6.
2
Ruil om: x = 3y − 6.
3
3y = x + 6 → y = x/3 + 2.
Maak y die onderwerp.
4
h⁻¹(x) = 1/3x + 2.
Die inverse van ’n lyn is altyd ’n lyn.

y = 2x² beperk tot x ≥ 0, met sy inverse. Die punt (2 ; 8) word (8 ; 2).

3Inverse van ’n parabool

Uitgewerkte voorbeeldf(x) = 2x². Bepaal f⁻¹

1
y = 2x² → ruil om: x = 2y².
2
y² = x/2.
3
y = ±√(x/2).
Vierkantswortels gee TWEE antwoorde — die ± is noodsaaklik.

⚠️

Weens die ± is die inverse van ’n onbeperkte parabool nie ’n funksie nie — een x-waarde gee twee y-waardes, dus druip dit die vertikalelyntoets.

Om dit te dwing om ’n funksie te wees, beperk jy die definisieversameling van f. As x ≥ 0, dan is f⁻¹(x) = √(x/2); as x ≤ 0, dan is f⁻¹(x) = −√(x/2).

y = 2^x en y = log₂ x is refleksies van mekaar in y = x. Die y-afsnit (0 ; 1) word die x-afsnit (1 ; 0).

4Inverse van ’n eksponensiële funksie

Vir b > 0 en b ≠ 1:
f(x) = b^x ⇔ f⁻¹(x) = log_b x

Uitgewerkte voorbeeldk(x) = 2^x. Bepaal k⁻¹

1
y = 2^x → ruil om: x = 2^y.
2
y = log₂ x.
’n Logaritme is presies die gereedskap om ’n eksponent die onderwerp te maak.

5Definisieversameling en waardeversameling ruil om

definisieversameling van f⁻¹ = waardeversameling van f
waardeversameling van f⁻¹ = definisieversameling van f

Uitgewerkte voorbeeldGee die definisieversameling en waardeversameling van k⁻¹ as k(x) = 2^x

1
k het definisieversameling x ∈ ℝ en waardeversameling y > 0.
’n Eksponensiële funksie is nooit nul of negatief nie.
2
Dus het k⁻¹ definisieversameling x > 0 en waardeversameling y ∈ ℝ.
Hulle ruil eenvoudig plekke.

💡

Vinnige kontrole: die y-afsnit van f word die x-afsnit van f⁻¹. Vir k(x) = 2^x word die punt (0 ; 1) (1 ; 0).

6Die definisie, en waarom dit alles hier bepaal

’n Funksie is ’n reël waarin elke insetwaarde presies een uitsetwaarde het — die uitset hang uniek van die inset af. Jy het dit in Graad 10 teëgekom; dit maak nou weer saak omdat dit die hele rede is waarom ’n inverse kan faal.

Refleksie van ’n grafiek in die lyn y = x ruil die insette en die uitsette om. ’n Funksie waarvan die eie grafiek die vertikalelyntoets slaag, kan dus ’n refleksie gee wat dit nie slaag nie — en daardie refleksie is dan ’n verwantskap, nie ’n funksie nie.

Een-tot-een (elke uitset een keer gebruik, soos y = ax + q): die inverse IS ’n funksie.
Veel-tot-een (twee insette deel ’n uitset, soos y = ax²): die inverse is een-tot-veel, dus is dit NIE ’n funksie nie.
Dit is presies waarom die definisieversameling van y = ax² beperk moet word tot x ≥ 0 of x ≤ 0 voordat die inverse daarvan ’n funksie genoem kan word.

💡

Die toets dra netjies oor: ’n grafiek is ’n funksie as geen vertikale lyn dit twee keer sny nie; sy inverse is ’n funksie as geen horisontale lyn die oorspronklike twee keer sny nie.

Oefeninge

Werk elkeen uit en klik dan om die antwoord te sien.

📄 Werkkaart ✅ Memo 📝 Eksamenvraestel 🗝️ Nasienriglyn

1
Bepaal die vergelyking van h⁻¹, die inverse van h(x) = 3x − 6, in die vorm y = …
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
x = 3y − 6 → y = 1/3x + 2
2
Bepaal die inverse van f(x) = 2x².
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
x = 2y² → y = ±√(x/2)
3
Is die inverse van f(x) = 2x² ’n funksie? Gee ’n rede.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Nee — weens die ± gee een x-waarde twee y-waardes, dus druip dit die vertikalelyntoets.
4
Beperk die definisieversameling van f(x) = 2x² sodat f⁻¹ ’n funksie is.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
x ≥ 0 (of x ≤ 0)
5
Bepaal die vergelyking van k⁻¹ as k(x) = 2^x.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
y = log₂ x
6
Skryf die definisieversameling en waardeversameling van k⁻¹ neer as k(x) = 2^x.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Definisieversameling x > 0; waardeversameling y ∈ ℝ
7
Die grafiek van f⁻¹ is die refleksie van f in watter lyn?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
y = x
8
Die punt (2 ; 7) lê op f. Skryf ’n punt op f⁻¹ neer.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
(7 ; 2)
9
Stel die definisie van ’n funksie.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
’n Reël waarin elke insetwaarde presies EEN uitsetwaarde het ✓✓
10
Verduidelik met behulp van die definisie waarom die inverse van f(x) = 3x² nie ’n funksie is nie, tensy die definisieversameling beperk word.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
f is veel-tot-een — f(−2) en f(2) gee albei 12 ✓; refleksie ruil insette en uitsette om, dus sou een inset op twee uitsette afbeeld ✓; beperking tot x ≥ 0 maak f een-tot-een, dus is die inverse ’n funksie ✓
11
Watter lyntoets vertel jou of die INVERSE van ’n grafiek ’n funksie sal wees?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Die horisontalelyntoets toegepas op die OORSPRONKLIKE grafiek ✓; as ’n horisontale lyn dit meer as een keer sny, is die inverse nie ’n funksie nie ✓