Logaritmes — Graad 12 Wiskunde (KABV)

Logs as die omgekeerde van eksponente — berekening, omskakeling tussen log- en eksponentvorm, die oplos vir ’n onbekende eksponent soos die n in ’n finansiesvraag, en die grafiek van y = log_b x as die inverse van y = b^x — elkeen volledig uitgewerk, met die logwette as verryking en ’n werkblad.

’n Logaritme beantwoord een vraag: ‘tot watter mag verhef ek die grondtal om hierdie getal te kry?’ Dit is die presiese omgekeerde van ’n eksponent — daardie enkele idee maak logs maklik.

as b^x = y dan log_b y = x
vir b > 0, b ≠ 1 en y > 0

Die voorwaardes wat daarmee saamgaan: die grondtal moet positief wees en nie 1 nie (b > 0, b ≠ 1), en jy mag slegs die log van ’n POSITIEWE getal neem (y > 0). Daarom bestaan log 0 en log(−5) nie, en daarom moet ’n logvergelyking se antwoorde altyd teen die oorspronklike uitdrukking gekontroleer word.

Lees log₂ 8 as ‘die mag wat 2 in 8 verander’. Aangesien 2³ = 8, is log₂ 8 = 3.

1Tipe 1: Bereken ’n logaritme

Uitgewerkte voorbeeldVoorbeeld 1: bereken log₅ 125

1
Vra: 5 tot watter mag gee 125?
Die betekenis van die log.
2
5³ = 125.
5 × 5 × 5 = 125.
3
Dus is log₅ 125 = 3.
Die logaritme is die eksponent.

2Tipe 2: Skakel om tussen log- en eksponentvorm

Uitgewerkte voorbeeldVoorbeeld 2: skryf 2⁴ = 16 in logvorm, en log₃ 81 = 4 in eksponentvorm

1
2⁴ = 16 → log₂ 16 = 4.
Die grondtal bly die grondtal; die eksponent word die log se waarde.
2
log₃ 81 = 4 → 3⁴ = 81.
Keer dieselfde verband om.

3Buite die ATP (word nie geëksamineer nie): die logwette

Die Graad 12-ATP eksamineer die definisie van ’n logaritme, sy grafiek en die gebruik daarvan om n te bepaal; dit eksamineer nie die logwette of verandering van grondtal nie. Hulle is hier omdat hulle verduidelik hoe ’n sakrekenaar logs bereken — lees hulle, maar moenie hulle in die eksamen verwag nie.

log(xy) = log x + log y • logx/y = log x − log y • log xⁿ = n log x (x, y > 0)

Uitgewerkte voorbeeldVoorbeeld 3: vereenvoudig log 4 + log 25

1
Produkwet: log 4 + log 25 = log(4 × 25) = log 100.
Logs optel → vermenigvuldig die getalle.
2
log₁₀ 100 = 2.
10² = 100.

4Buite die ATP (word nie geëksamineer nie): verandering van grondtal

Die Casio fx-82ZA PLUS wat in Suid-Afrikaanse skole gebruik word, het ’n log□-sleutel vir enige grondtal. Op ’n sakrekenaar met slegs log- (grondtal 10) en ln-sleutels, gebruik die reël vir verandering van grondtal: log_b y = (log y)/(log b).

Uitgewerkte voorbeeldVoorbeeld 4: bereken log₂ 20

1
log₂ 20 = log 20 ÷ log 2.
Reël vir verandering van grondtal (enige grondtal op die sakrekenaar).
2
≈ 1,301 ÷ 0,301 ≈ 4,32.
Gebruik die log-knoppie.

5Tipe 3: Los op vir ’n onbekende eksponent

Uitgewerkte voorbeeldVoorbeeld 5: los 3ˣ = 40 op

1
Skryf dit in logvorm: x = log₃ 40.
Volgens definisie beteken 3^x = 40 dat x die mag is wat 3 in 40 verander.
2
Bereken op die sakrekenaar met die log□-sleutel: x ≈ 3,36.
Kontroleer: 3^3,36 ≈ 40 ✓

💡

Logs laat jou toe om vir ’n onbekende in die eksponent op te los — bv. ‘hoe lank totdat ’n belegging verdubbel?’ Skryf die vergelyking in logvorm en bereken dit. Logs is ook die inverse van die eksponensiële grafiek.

⚠️

log(a + b) is NIE log a + log b nie. Die wette werk op produkte en kwosiënte — log(ab) = log a + log b — nooit op somme nie. Een van die algemeenste logfoute.

Logs verskyn regdeur matriek in finansies, funksies en eksponensiële vergelykings. Bemeester hierdie vyf soorte in die werkblad.

y = log₂ x is die spieëlbeeld van y = 2^x in die lyn y = x — wat presies is wat ‘inverse’ beteken.

6Die grafiek wanneer die grondtal tussen 0 en 1 is

y = log₂ x styg; y = log_½ x daal. Albei gaan deur (1 ; 0) en albei het die y-as as asimptoot.

As b > 1, is die loggrafiek stygend. As 0 < b < 1, is dit dalend — dit is die eerste grafiek gereflekteer in die x-as. Hoe ook al, die definisieversameling is x > 0, die waardeversameling is y ∈ ℝ, en die y-as is ’n vertikale asimptoot.

⚠️

log_½ 8 = −3, nie 3 nie. ’n Grondtal onder 1 gee negatiewe uitsette vir x > 1 — kontroleer die teken teen die grafiek voordat jy dit neerskryf.

Oefeninge

Werk elkeen uit en klik dan om die antwoord te sien.

📄 Werkkaart ✅ Memo 📝 Eksamenvraestel 🗝️ Nasienriglyn

1
Bereken log₂ 16. (bereken)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
2⁴ = 16 → 4
2
Bereken log₃ 27. (bereken)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
3³ = 27 → 3
3
Bereken log₁₀ 1 000. (bereken)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
10³ = 1000 → 3
4
Skryf 5³ = 125 in logvorm. (skakel om)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
log₅ 125 = 3
5
Skryf log₂ 32 = 5 in eksponentvorm. (skakel om)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
2⁵ = 32
6
Los log₂ x = 5 op. (definisie)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
x = 2⁵ (1)
x = 32 (1)
7
Skryf die inverse van f(x) = 3^x in die vorm y = … neer. (inverse)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
ruil x en y: x = 3^y om (1)
y = log₃ x (1)
8
Gee die definisieversameling en die waardeversameling van y = log₂ x. (grafiek)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
definisieversameling: x > 0 (1)
waardeversameling: y ∈ ℝ (1)
9
Geld wat teen 8% p.j. saamgestelde rente belê word, verdubbel na n jaar. Bepaal n (2 desimale plekke). (finansies)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
2 = (1,08)ⁿ (1)
n = log_1,08 2 ≈ 9,01 jaar (1)
10
Los 2^x = 20 op (2 desimale plekke). (los op)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
x = log₂ 20 (2)
x ≈ 4,32 (1)