Diskriminant Δ en aard van die wortels — Graad 11 (KABV)

Die diskriminant is Δ = b² − 4ac, en sy teken vertel jou die aard van die wortels voordat jy oplos — twee reële, een gelyke, of niereële. Elke soort vraag volledig uitgewerk, met ’n werkblad.

Vir ’n kwadratiese vergelyking ax² + bx + c = 0 is die deel van die kwadratiese formule onder die vierkantswortel, b² − 4ac, die diskriminant (simbool Δ). Dit vertel jou watter soort wortels die vergelyking het — sonder om al die bewerkings te doen. Hierdie gids dek die soorte diskriminantvrae van Graad 11.

Die simbool vir die diskriminant is Δ, die Griekse hoofletter delta, dus skryf jy Δ = b² − 4ac. Sommige handboeke gebruik eerder die letter D; dit beteken presies dieselfde. Δ is net ’n getal: werk dit uit, kyk na sy teken, en jy weet watter soort wortels die vergelyking het.

1Wat die diskriminant jou vertel

Δ > 0 : twee verskillende reële wortels (die grafiek sny die x-as twee keer).
Δ = 0 : een reële wortel, herhaal (die grafiek raak net aan die x-as).
Δ < 0 : geen reële wortels nie (die grafiek bereik nooit die x-as nie).
Wanneer a, b en c rasionaal is — soos in elke eksamenvraag — Δ > 0 en ’n volkome vierkant (1, 4, 9, 16…) : die wortels is rasionaal en dit faktoriseer.
Met a, b en c rasionaal, Δ > 0 maar NIE ’n volkome vierkant nie : die wortels is reëel maar irrasionaal (wortelvorme).

💡

Waarom die voorwaarde saak maak: die wortels is x = (−b ± √Δ)/2a, dus waarborg ’n Δ wat ’n volkome vierkant is, slegs rasionale wortels as a en b ook rasionaal is. Met ’n irrasionale koëffisiënt faal dit: x² − 2√2x + 1 = 0 het Δ = 8 − 4 = 4, ’n volkome vierkant, maar tog is sy wortels √2 ± 1 irrasionaal.

Die diskriminant bepaal hoe die parabool die x-as ontmoet: twee wortels (Δ > 0), een herhaalde wortel (Δ = 0), of geen (Δ < 0).

2Tipe 1: Klassifiseer die wortels (geen reële wortels nie)

Uitgewerkte voorbeeldVoorbeeld 1: beskryf die wortels van 2x² − 3x + 5 = 0

1
Identifiseer a = 2, b = −3, c = 5.
Vergelyk met ax² + bx + c = 0.
2
Δ = b² − 4ac = (−3)² − 4(2)(5) = 9 − 40 = −31.
Let op die teken: (−3)² = +9.
3
Δ = −31 < 0 → geen reële wortels nie.
’n Negatiewe getal onder die wortel het geen reële waarde nie.

3Tipe 2: Rasionale teenoor irrasionale wortels

Uitgewerkte voorbeeldVoorbeeld 2: is die wortels van x² − 5x + 6 = 0 rasionaal?

1
Δ = (−5)² − 4(1)(6) = 25 − 24 = 1.
Bereken die diskriminant.
2
Δ = 1 > 0 en 1 is ’n volkome vierkant → twee rasionale wortels.
’n Δ wat ’n volkome vierkant is, beteken dit faktoriseer.

Uitgewerkte voorbeeldVoorbeeld 3: klassifiseer die wortels van x² − 3x + 1 = 0

1
Δ = (−3)² − 4(1)(1) = 9 − 4 = 5.
2
Δ = 5 > 0 maar nie ’n volkome vierkant nie → twee reële, irrasionale wortels.
Die antwoord sal √5 bevat.

4Tipe 3: Gelyke wortels: bepaal k

Die algemene eksamendraai: ’n vergelyking bevat ’n onbekende (dikwels k) en jy moet die waarde bepaal wat ’n spesifieke soort wortel gee. Vertaal die woorde in ’n voorwaarde op Δ.

Uitgewerkte voorbeeldVoorbeeld 4: vir watter k het x² + kx + 9 = 0 gelyke wortels?

1
Gelyke wortels beteken Δ = 0.
Een herhaalde wortel ⇒ die diskriminant is nul.
2
Δ = k² − 4(1)(9) = k² − 36 = 0.
Vervang a = 1, b = k, c = 9.
3
k² = 36 → k = ±6.
Twee waardes gee gelyke wortels.

5Tipe 4: Reële wortels / niereële wortels: bepaal k

Uitgewerkte voorbeeldVoorbeeld 5: vir watter k het x² − 4x + k = 0 twee reële wortels?

1
Twee reële wortels beteken Δ > 0.
Reëel en verskillend ⇒ die diskriminant is positief.
2
Δ = (−4)² − 4(1)(k) = 16 − 4k > 0.
Stel die ongelykheid op.
3
16 > 4k → k < 4.
Los die ongelykheid op (deel deur 4).

6Wat gelyke wortels beteken

Gelyke wortels beteken die vergelyking het twee wortels wat dieselfde getal is. As Δ = 0, tel die ± in die kwadratiese formule nul by en trek nul af, dus is albei wortels x = −b ÷ 2a. Op die grafiek raak die parabool die x-as by sy draaipunt in plaas daarvan om dit te sny.

Uitgewerkte voorbeeldVoorbeeld 6: toon aan dat x² − 10x + 25 = 0 gelyke wortels het

1
Δ = (−10)² − 4(1)(25) = 100 − 100 = 0.
Vervang a = 1, b = −10, c = 25.
2
Δ = 0 → die wortels is reëel en gelyk.
Skryf die gevolgtrekking in woorde: dit is waar die punt is.
3
Kontrole: x² − 10x + 25 = (x − 5)² = 0, dus x = 5 twee keer.
Die draaipunt (5; 0) lê op die x-as.

7Reële wortels en niereële wortels

Reële wortels is wortels wat jy op die getallelyn kan plaas. Hulle bestaan as Δ ≥ 0, wat die geval van gelyke wortels insluit. Niereële wortels kom voor as Δ < 0: die formule vra dan vir die vierkantswortel van ’n negatiewe getal, wat nie ’n reële getal is nie, en die parabool sny of raak nie die x-as nie.

Uitgewerkte voorbeeldVoorbeeld 7: toon aan dat 3x² + 2x + 1 = 0 niereële wortels het

1
Δ = 2² − 4(3)(1) = 4 − 12 = −8.
2
Δ = −8 < 0 → die wortels is niereëel.
Die formule sou √(−8) nodig hê, wat nie ’n reële getal is nie.

8Tipe 5: Toon aan dat die wortels reëel is vir elke waarde van k

Uitgewerkte voorbeeldVoorbeeld 8: toon aan dat x² − (k + 2)x + 2k = 0 reële wortels het vir elke reële waarde van k

1
a = 1, b = −(k + 2), c = 2k.
Hou b tussen hakies: die hele hakie word gekwadreer.
2
Δ = (k + 2)² − 4(1)(2k) = k² + 4k + 4 − 8k = k² − 4k + 4.
3
Δ = (k − 2)² ≥ 0 vir elke reële k.
’n Vierkant is nooit negatief nie.
4
Δ ≥ 0 → die wortels is altyd reëel (en gelyk as k = 2).
Dit is die standaardmanier om ‘vir alle waardes van k’ te beantwoord: skryf Δ as ’n volkome vierkant.

💡

Vertaal eers die woorde in ’n voorwaarde: ‘gelyke/een herhaalde wortel’ → Δ = 0; ‘twee reële wortels’ → Δ > 0; ‘reële wortels’ (sonder ‘twee’) → Δ ≥ 0; ‘geen reële wortels nie’ → Δ < 0; ‘rasionale wortels’ → Δ ’n volkome vierkant. Vervang dan en los op.

⚠️

Teken van b²: as b = −3, dan is b² = 9, nie −9 nie. Kwadrering gee altyd ’n positiewe getal — hierdie enkele glips draai baie antwoorde om.

⚠️

Eers standaardvorm: in 3x² = 5x − 2 is die waarde van b nie 5 nie. Herskryf dit as 3x² − 5x + 2 = 0, dus a = 3, b = −5, c = 2 en Δ = 25 − 24 = 1.

⚠️

‘Reële wortels’ is nie ‘twee reële wortels’ nie: reële wortels laat gelyke wortels toe, dus is die voorwaarde Δ ≥ 0; twee ongelyke reële wortels vra Δ > 0. In Voorbeeld 5 sou ‘reële wortels’ k ≤ 4 gee, nie k < 4 nie.

Omdat die voorwaardes vas is en die algebra kort is, is diskriminantvrae van die mees lonende punte in Graad 11–12 Vraestel 1. Oefen elke soort hieronder.

Oefeninge

Werk elkeen uit en klik dan om die antwoord te sien.

📄 Werkkaart ✅ Memo 📝 Eksamenvraestel 🗝️ Nasienriglyn

1
Δ vir x² − 6x + 9 = 0, en die aard van die wortels. (klassifiseer)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
36 − 36 = 0 → een reële (gelyke) wortel
2
Δ vir x² + 2x + 5 = 0, en die aard van die wortels. (klassifiseer)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
4 − 20 = −16 < 0 → geen reële wortels nie
3
Δ vir 2x² − 7x + 3 = 0, en die aard. (klassifiseer)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
49 − 24 = 25 > 0, en 25 is ’n volkome vierkant → die wortels is reëel, rasionaal en ongelyk
4
Is die wortels van x² − 4x + 4 = 0 rasionaal? (rasionaal?)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Δ = 0 (volkome vierkant) → rasionaal (gelyk)
5
Rasionaal of irrasionaal: x² − 2x − 2 = 0? (rasionaal?)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Δ = 4 + 8 = 12, nie ’n volkome vierkant nie → irrasionaal
6
Vir watter k het x² + kx + 4 = 0 gelyke wortels? (gelyk, bepaal k)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
k² − 16 = 0 → k = ±4
7
Vir watter k het x² − 6x + k = 0 gelyke wortels? (gelyk, bepaal k)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
36 − 4k = 0 → k = 9
8
Vir watter k het x² + 2x + k = 0 twee reële wortels? (reëel, bepaal k)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
4 − 4k > 0 → k < 1
9
Vir watter k het x² − 2x + k = 0 geen reële wortels nie? (niereëel, bepaal k)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
4 − 4k < 0 → k > 1
10
Δ vir 3x² − 5x + 1 = 0. (bereken)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
25 − 12 = 13 (twee reële, irrasionale)