Eweredigheid- en gelykvormigheidstellings — Graad 12 (KABV)

Die eweredigheidstelling vir ’n lyn ewewydig aan ’n sy van ’n driehoek, die twee maniere om te bewys dat driehoeke gelykvormig is (gelykhoekig, of sye in verhouding), en hoe om ’n eweredigheid uiteen te sit sodat die verhoudings nie omgedraai kan word nie.

1Die eweredigheidstelling

’n Lyn wat ewewydig aan een sy van ’n driehoek getrek word, verdeel die ander twee sye eweredig.

DE ∥ BC, dus AD/DB = AE/EC.

Die rede om in ’n eksamen aan te haal, is (lyn ∥ een sy van △) — of ‘eweredigheidstelling; DE ∥ BC’. Sonder die rede verdien die bewering niks.

💡

Sit elke eweredigheid op dieselfde manier uiteen: boonste stuk gedeel deur onderste stuk aan albei kante. Om AD/DB met EC/AE te meng, is die algemeenste fout in die hele onderwerp.

2Gelykvormige driehoeke

△ABC ||| △DEF beteken
Â = D̂, B̂ = Ê, Ĉ = F̂ en AB/DE = BC/EF = AC/DF

In Graad 12 is daar twee maniere om te bewys dat twee driehoeke gelykvormig is:

Gelykhoekig (HHH): die ooreenkomstige hoeke is gelyk. Jy hoef net twee pare hoeke as gelyk te bewys — die derde volg omdat die hoeke van ’n driehoek saam 180° is. Rede: (∠∠∠) of (gelykhoekige △e).
Sye in verhouding: al drie pare ooreenkomstige sye is in dieselfde verhouding. Rede: (sye van △ in verhouding).

Elkeen gee die ander: gelykhoekige driehoeke het hul sye in verhouding, en driehoeke met hul sye in verhouding is gelykhoekig. Kies die roete wat die vraag jou gee — ewewydige lyne en gedeelde hoeke wys na HHH; drie gegewe lengtes wys na die sye.

Uitgewerkte voorbeeldIn △ABC is DE ∥ BC. Bewys dat △ADE ||| △ABC.

1
Â is gemeenskaplik aan albei driehoeke.
Soek altyd eers die gedeelde hoek.
2
AD̂E = AB̂C (ooreenk. ∠e; DE ∥ BC)
Ewewydige lyne gee gelyke ooreenkomstige hoeke.
3
AÊD = AĈB (ooreenk. ∠e; DE ∥ BC)
4
∴ △ADE ||| △ABC (HHH)
Skryf die letters in ooreenstemmende volgorde — A met A, D met B, E met C.

Uitgewerkte voorbeeld△PQR het PQ = 6, QR = 8 en PR = 10. △STU het ST = 9, TU = 12 en SU = 15. Bewys dat △PQR ||| △STU.

1
Paar die sye kortste met kortste: ST/PQ = 9/6 = 3/2.
Ooreenkomstige sye word volgens grootte gepaar, en in dieselfde volgorde as die letters.
2
TU/QR = 12/8 = 3/2 en SU/PR = 15/10 = 3/2.
Al DRIE verhoudings moet gekontroleer word — twee gelyke verhoudings is nie genoeg nie.
3
∴ △PQR ||| △STU (sye van △ in verhouding)
Die sye is in dieselfde verhouding, dus is die driehoeke gelykvormig — en dus ook gelykhoekig.

3Gelykvormigheid gebruik om ’n lengte te bepaal

Uitgewerkte voorbeeldDE ∥ BC met AD = 4, DB = 6 en AE = 5. Bereken EC.

1
AD/DB = AE/EC.
Eweredigheidstelling.
2
4/6 = 5/EC.
Vervang.
3
4 × EC = 30.
Kruisvermenigvuldig.
4
EC = 7,5.
Kontroleer: 4/6 = 5/7,5 = 2/3. ✓

⚠️

AD = 4 en DB = 6 beteken AB = 10, nie 6 nie. Lees noukeurig of ’n vraag jou die stuk of die hele sy gee — AD/AB = 4/10 is ’n ander verhouding as AD/DB = 4/6.

4Bewys van Pythagoras met gelykvormige driehoeke

Die ATP vra dat jy die Stelling van Pythagoras met gelykvormigheid bewys. Laat ’n loodlyn vanaf die regte hoek op die skuinssy neer, en drie gelykvormige driehoeke verskyn dadelik.

△ABC met Â = 90° en AD ⊥ BC. Hierdie enkele lyn skep drie gelykvormige driehoeke.

Uitgewerkte voorbeeldBewys dat AB² + AC² = BC²

1
In △ABD en △CBA: B̂ is gemeenskaplik, en AD̂B = BÂC = 90°.
Twee pare gelyke hoeke.
2
∴ △ABD ||| △CBA (HHH), dus AB/CB = BD/BA.
Ooreenkomstige sye in verhouding.
3
∴ AB² = BD · BC.
Kruisvermenigvuldig.
4
Net so gee △ACD ||| △BCA AC² = CD · CB.
Dieselfde argument aan die ander kant.
5
Tel op: AB² + AC² = BC(BD + CD).
Haal BC as gemeenskaplike faktor uit.
6
Maar BD + CD = BC, dus AB² + AC² = BC². □
D lê op BC, dus vorm die twee stukke die geheel.

Dieselfde drie gelykvormige driehoeke gee ’n derde resultaat. Uit △ABD ||| △CAD: AD/CD = BD/AD, dus AD² = BD · DC — die loodlyn vanaf die regte hoek is die meetkundige gemiddeld van die twee stukke van die skuinssy.

💡

Kontroleer al drie op ’n 3-4-5-driehoek (AB = 3, AC = 4, BC = 5): BD = 1,8 en CD = 3,2. Dan is BD × BC = 1,8 × 5 = 9 = AB², CD × CB = 3,2 × 5 = 16 = AC², en BD × DC = 1,8 × 3,2 = 5,76 = 2,4² = AD². ✓

Oefeninge

Werk elkeen uit en klik dan om die antwoord te sien.

📄 Werkkaart ✅ Memo 📝 Eksamenvraestel 🗝️ Nasienriglyn

1
In △ABC hieronder is DE ∥ BC. Skryf die eweredigheid neer wat volg, met ’n rede.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
AD/DB = AE/EC (lyn ∥ een sy van △)
2
DE ∥ BC met AD = 4, DB = 6 en AE = 5. Bereken EC.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
4/6 = 5/EC → EC = 7,5
3
In △ABC hieronder met DE ∥ BC, bewys dat △ADE ||| △ABC.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Â gemeenskaplik; AD̂E = AB̂C en AÊD = AĈB (ooreenk. ∠e, DE ∥ BC) → △ADE ||| △ABC (HHH)
4
As AD = 4 en DB = 6, skryf die lengte van AB neer.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
4 + 6 = 10
5
Hoeveel pare gelyke hoeke moet jy vir HHH bewys?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Twee — die derde volg omdat die hoeke van ’n driehoek saam 180° is.
6
△ABC ||| △DEF met AB = 8, DE = 12 en BC = 10. Bereken EF.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
8/12 = 10/EF → EF = 15
7
Gee die rede wat jy moet aanhaal wanneer jy die eweredigheidstelling gebruik.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
(lyn ∥ een sy van △)
8
Twee driehoeke is gelykhoekig. Wat kan jy aflei?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Hulle is gelykvormig, dus is hul ooreenkomstige sye in verhouding.
9
Die sye van △ABC is 4 cm, 6 cm en 8 cm. Die sye van △KLM is 6 cm, 9 cm en 12 cm. Is die driehoeke gelykvormig? Gee ’n rede.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
6/4 = 9/6 = 12/8 = 1,5 ✓✓, dus is die sye in verhouding en die driehoeke is gelykvormig (sye van △ in verhouding) ✓