Kwadratiese ongelykhede — Graad 11 Wiskunde (KABV)

Die oplos van ongelykhede soos x² − x − 6 > 0 deur te faktoriseer, die kritieke waardes te bepaal, en ’n tekentabel of ’n skets van die parabool te gebruik — met die antwoord in intervalnotasie.

Ook bekend as: kwadratiese ongelykhede oplos · tekentabel · getallelynmetode

’n Kwadratiese ongelykheid vra waar ’n parabool bo of onder die x-as is. Die metode is altyd dieselfde vier stappe.

1Die metode

Skuif alles na een kant sodat die ander kant 0 is.
Faktoriseer en bepaal die kritieke waardes (waar dit gelyk is aan 0).
Besluit watter gebiede aan die ongelykheid voldoen — skets die parabool of gebruik ’n tekentabel.
Skryf die antwoord in intervalnotasie.

💡

Skets ’n rowwe parabool deur die twee kritieke waardes. As a > 0, maak dit na bo oop, dus is dit onder die as tussen die wortels en bo die as buite hulle. Daardie prentjie beantwoord die vraag onmiddellik.

2Groter as nul: buite die wortels

Uitgewerkte voorbeeldLos op: x² − x − 6 > 0

1
Faktoriseer: (x − 3)(x + 2) > 0.
Die kritieke waardes is x = 3 en x = −2.
2
a = 1 > 0, dus maak die parabool na bo oop.
Dit is positief BUITE die wortels.
3
x < −2 of x > 3.
Twee aparte gebiede — verbind met ‘of’, nooit ‘en’ nie.
4
Intervalnotasie: (−∞ ; −2) ∪ (3 ; ∞).
Die verenigingsimbool verbind die twee dele.

3Kleiner as nul: tussen die wortels

Uitgewerkte voorbeeldLos op: x² − x − 6 ≤ 0

1
Dieselfde faktore: (x − 3)(x + 2) ≤ 0.
Dieselfde kritieke waardes.
2
Die parabool is onder die as TUSSEN die wortels.
3
−2 ≤ x ≤ 3, i.e. [−2 ; 3].
Vierkantige hakies omdat ≤ die eindpunte insluit.

⚠️

Om die ‘groter as’-antwoord as −2 > x > 3 te skryf, is betekenisloos — geen getal is albei nie. Wanneer die oplossing twee aparte gebiede is, moet jy of (∪) gebruik.

4Wanneer die koëffisiënt negatief is

Uitgewerkte voorbeeldLos op: −x² + 4 > 0

1
Vermenigvuldig met −1 en DRAAI die teken OM: x² − 4 < 0.
As ’n ongelykheid met ’n negatiewe getal vermenigvuldig word, draai dit om.
2
Faktoriseer: (x − 2)(x + 2) < 0.
Kritieke waardes ±2.
3
Onder die as, dus tussen die wortels: −2 < x < 2.
Interval: (−2 ; 2).

Oefeninge

Werk elkeen uit en klik dan om die antwoord te sien.

📄 Werkkaart ✅ Memo 📝 Eksamenvraestel 🗝️ Nasienriglyn

1
Los op: x² − x − 6 > 0
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
(x − 3)(x + 2) > 0 → x < −2 of x > 3
2
Los op: x² − x − 6 ≤ 0
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
−2 ≤ x ≤ 3, i.e. [−2 ; 3]
3
Los op: x² − 9 < 0
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
−3 < x < 3
4
Los op: x² − 4 ≥ 0
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
x ≤ −2 of x ≥ 2
5
Los op: x² + 5x + 6 < 0
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
(x + 2)(x + 3) < 0 → −3 < x < −2
6
Los op: x² − 5x > 0
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
x(x − 5) > 0 → x < 0 of x > 5
7
Los op: −x² + 4 > 0
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
−2 < x < 2
8
Skryf x < −1 of x > 4 in intervalnotasie.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
(−∞ ; −1) ∪ (4 ; ∞)