Die kwadratiese getalpatroon — Graad 11 en 12 (KABV)

Hoe om ’n kwadratiese patroon aan sy konstante tweede verskil te herken, Tₙ = an² + bn + c te vind, en die standaard NSS-opvolgvrae te beantwoord oor watter term gelyk is aan ’n gegewe waarde.

’n Ry is kwadraties wanneer die tweede verskille konstant is. Vraestel 1 begin byna elke jaar met een hiervan.

1Hoe om dit raak te sien: die verskiltabel

Die ry 3 ; 8 ; 17 ; 30 ; 47 — die tweede verskille is almal 4.

Trek elke term van die volgende af om die eerste verskille te kry, en doen dit dan weer vir die tweede verskille. Konstante tweede verskil ⇒ kwadraties.

2Die drie kortpaaie

Tₙ = an² + bn + c

2a = tweede verskil
3a + b = eerste van die eerste verskille
a + b + c = T₁

💡

Leer daardie drie reëls. Hulle maak van elke vraag oor ’n kwadratiese patroon drie vinnige vervangings — geen gelyktydige vergelykings nodig nie.

Uitgewerkte voorbeeldVind Tₙ vir 3 ; 8 ; 17 ; 30 ; 47

1
Tweede verskil = 4, dus 2a = 4 en a = 2.
2
Eerste van die eerste verskille = 5, dus 3a + b = 5 → 6 + b = 5 → b = −1.
Vervang a = 2.
3
T₁ = 3, dus a + b + c = 3 → 2 − 1 + c = 3 → c = 2.
4
Tₙ = 2n² − n + 2.
5
Kontroleer met n = 4: 2(16) − 4 + 2 = 30. ✓
Toets ALTYD een bekende term — dit vang elke tekenfout.

⚠️

Moenie die eerste verskil tussen T₁ en T₂ as '2a' gebruik nie. Die tweede verskil is die een wat konstant is; die eerste verskille verander aanhoudend.

3Watter term is gelyk aan ’n gegewe waarde?

Uitgewerkte voorbeeldWatter term van Tₙ = 2n² − n + 2 is gelyk aan 122?

1
2n² − n + 2 = 122.
Stel die formule gelyk aan die waarde.
2
2n² − n − 120 = 0.
Standaardvorm.
3
(2n + 15)(n − 8) = 0.
Faktoriseer.
4
n = 8 (verwerp n = −7,5).
n moet ’n positiewe telgetal wees — sê so, punte word daarvoor gegee.

4Hoe om ’n ontbrekende waarde te vind

Uitgewerkte voorbeeld1 ; p ; 11 ; … is kwadraties met eerste verskille 3 ; 7 ; …

1
Eerste verskil: p − 1 = 3.
Die gaping van T₁ na T₂.
2
p = 4.
3
Kontroleer: 11 − 4 = 7. ✓
Stem ooreen met die tweede gegewe eerste verskil.

Oefeninge

Werk elkeen uit en klik dan om die antwoord te sien.

📄 Werkkaart ✅ Memo 📝 Eksamenvraestel 🗝️ Nasienriglyn

1
Toon aan dat 3 ; 8 ; 17 ; 30 ; 47 ’n kwadratiese patroon is.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Eerste verskille 5 ; 9 ; 13 ; 17. Tweede verskille 4 ; 4 ; 4 — konstant, dus is dit kwadraties.
2
Bepaal Tₙ vir 3 ; 8 ; 17 ; 30 ; 47
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
2a = 4 → a = 2; 3a + b = 5 → b = −1; a + b + c = 3 → c = 2. Tₙ = 2n² − n + 2
3
Watter term van 3 ; 8 ; 17 ; 30 ; 47 is gelyk aan 122?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
2n² − n − 120 = 0 → (2n + 15)(n − 8) = 0 → n = 8 (verwerp n = −7,5)
4
Bepaal die algemene term van die patroon wat in die verskiltabel hieronder getoon word.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
2a = 2 → a = 1; 3a + b = 4 → b = 1; a + b + c = 1 → c = −1. Tₙ = n² + n − 1
5
1 ; p ; 11 ; … is ’n kwadratiese patroon waarvan die eerste verskille 3 ; 7 ; … is. Bepaal p.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
p − 1 = 3, dus p = 4
6
Die tweede verskil van ’n kwadratiese patroon is 6. Bepaal a.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
2a = 6, dus a = 3
7
Bereken T₁₀ as Tₙ = 2n² − n + 2.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
2(100) − 10 + 2 = 192