Buite-oppervlakte en volume van 3D-voorwerpe — Graad 9

Volume en buite-oppervlakte van kubusse, reghoekige prismas, driehoekige prismas en silinders, SI-eenheidsomskakelings, en wat met die volume gebeur as jy die afmetings verdubbel — met getekende liggame, uitgewerkte voorbeelde en ’n vasvra.

Ook bekend as: buite-oppervlakte van ’n silinder · volume van ’n prisma

Graad 8 het kubusse, reghoekige prismas en driehoekige prismas gedek. Graad 9 voeg die silinder by en neem die driehoekige prisma verder — die twee vorms wat die meeste in die werklike lewe en in eksamens voorkom.

1Die een idee agter elke prisma

Volume van enige prisma = oppervlakte van die dwarssnit × lengte

’n Prisma is ’n liggaam met dieselfde vorm reg deur. Bereken die oppervlakte van daardie plat dwarssnit, en vermenigvuldig dan met hoe lank die prisma is. Elke volumeformule hieronder is net hierdie idee toegepas op ’n ander dwarssnit.

2Reghoekige prisma (boks) en kubus

V = l × b × h · Buite-oppervlakte = 2(lb + lh + bh)

Uitgewerkte voorbeeld’n Boks meet 6 cm by 4 cm by 3 cm. Bepaal sy volume en buite-oppervlakte

1
V = 6 × 4 × 3 = 72 cm³.
Vermenigvuldig die drie afmetings.
2
BO = 2(6 × 4 + 6 × 3 + 4 × 3) = 2(24 + 18 + 12).
Drie pare identiese vlakke.
3
BO = 2(54) = 108 cm².
Oppervlakte is in vierkante eenhede, volume in kubieke eenhede.

3Driehoekige prisma

’n Driehoekige prisma: bepaal die oppervlakte van die driehoekige dwarssnit, en vermenigvuldig dan met die lengte.

Uitgewerkte voorbeeldDriehoekige prisma: basis 8 cm, hoogte 5 cm, lengte 10 cm. Bepaal die volume

1
Oppervlakte van die dwarssnit = ½ × 8 × 5 = 20 cm².
Oppervlakte van die driehoek.
2
V = 20 × 10.
Vermenigvuldig met die lengte van die prisma.
3
V = 200 cm³.

Driehoekige prisma
V = oppervlakte van die driehoek × lengte
BO = 2 × oppervlakte van die driehoek + (omtrek van die driehoek) × lengte

Die oppervlak bestaan uit twee identiese driehoekige ente plus drie reghoeke. Elke reghoek is so lank soos die prisma en so breed soos een sy van die driehoek — dus doen jy al drie in een slag as jy EERS die drie sye bymekaartel (die omtrek) en een keer vermenigvuldig. Dit beteken jy het al drie sye van die driehoek nodig, en dikwels moet een daarvan met Pythagoras bepaal word.

Uitgewerkte voorbeeldDie prisma hieronder het ’n reghoekige dwarssnit met sye van 12 cm en 9 cm, en dit is 10 cm lank. Bepaal sy totale buite-oppervlakte.

1
Derde sy: 12² + 9² = 144 + 81 = 225, dus is die skuins sy √225 = 15 cm.
Pythagoras — die omtrek het al drie sye nodig.
2
Die twee driehoekige ente: 2 × ½ × 12 × 9 = 108 cm².
Die ente is identies, dus bereken een en verdubbel dit.
3
Die drie reghoeke: (12 + 9 + 15) × 10 = 36 × 10 = 360 cm².
Omtrek van die driehoek × lengte van die prisma.
4
BO = 108 + 360 = 468 cm².
Ente plus sye.

⚠️

Om net die twee sye te gebruik wat gegee is. ’n Driehoekige prisma het drie reghoekige vlakke, dus moet die derde sy van die driehoek bepaal word voordat jy die buite-oppervlakte kan bereken — al het die volume dit nooit nodig nie.

4Silinder

’n Silinder: die dwarssnit is ’n sirkel met radius r, en die liggaam is h hoog.

V = πr²h · Buite-oppervlakte = 2πr² + 2πrh

Die volume is die sirkel se oppervlakte (πr²) maal die hoogte. Die buite-oppervlakte is die twee sirkelvormige ente (2πr²) plus die geboë kant, wat oopgerol word tot ’n reghoek met breedte 2πr en hoogte h.

Uitgewerkte voorbeeld’n Silinder het radius 5 cm en hoogte 10 cm. Bepaal V en BO (π ≈ 3,14)

1
V = πr²h = 3,14 × 5² × 10.
Kwadreer eers die radius.
2
V = 3,14 × 25 × 10 = 785 cm³.
3
BO = 2πr² + 2πrh = 2(3,14)(25) + 2(3,14)(5)(10).
Twee ente plus die geboë oppervlak.
4
BO = 157 + 314 = 471 cm².

⚠️

Moenie πr² (oppervlakte van die sirkelvormige ent) met 2πr (sy omtrek) verwar nie. Om die radius te kwadreer, is die stap wat leerders die meeste vergeet.

5SI-eenheidsomskakelings

1 cm³ = 1 mℓ en 1 000 cm³ = 1 ℓ
1 m³ = 1 000 ℓ = 1 kℓ
Oppervlakte: 1 cm² = 100 mm², 1 m² = 10 000 cm²

6Wat verdubbeling aan die volume doen

Dit is ’n gunsteling-eksamenvraag, en die antwoord verras mense.

Uitgewerkte voorbeeld’n Silinder se radius word verdubbel. Wat gebeur met die volume?

1
Oorspronklik: V = πr²h.
2
Nuwe radius 2r: V = π(2r)²h = π(4r²)h.
As jy 2r kwadreer, kry jy 4r² — die 2 word ook gekwadreer.
3
Die volume word 4 keer so groot.
Om die radius te verdubbel, vermenigvuldig die volume met 2² = 4.

Verdubbel net die hoogte → volume × 2
Verdubbel net die radius → volume × 4 (omdat r gekwadreer word)
Verdubbel elke afmeting → volume × 8

Oefeninge

Werk elkeen uit en klik dan om die antwoord te sien.

📄 Werkkaart ✅ Memo 📝 Eksamenvraestel 🗝️ Nasienriglyn

1
’n Kubus het ’n volume van 512 cm³. Bepaal die lengte van een rand, en dus die totale buite-oppervlakte van die kubus.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
rand = ∛512 = 8 cm (2)
’n Kubus het 6 vierkantige vlakke, dus BO = 6 × 8² (1)
= 384 cm² (1)
2
Volume van ’n boks van 6 cm × 4 cm × 3 cm.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
72 cm³
3
Buite-oppervlakte van ’n boks van 6 cm × 4 cm × 3 cm.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
2(24 + 18 + 12) = 108 cm²
4
Volume van ’n kubus met sy 5 cm.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
5³ = 125 cm³
5
Driehoekige prisma: basis 6, hoogte 4, lengte 12 cm. Bepaal die volume.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
½(6)(4) = 12; 12 × 12 = 144 cm³
6
Die diagram hieronder toon ’n driehoekige prisma waarvan die dwarssnit ’n reghoekige driehoek met sye van 15 cm en 8 cm is. Die prisma is 5 cm lank. Bereken die lengte van die derde sy van die driehoek, en dan die totale buite-oppervlakte van die prisma.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Derde sy = √(15² + 8²) = √289 = 17 cm (2)
Twee ente = 2 × ½ × 15 × 8 = 120 cm² (1)
Drie reghoeke = (15 + 8 + 17) × 5 = 200 cm² (1)
BO = 120 + 200 = 320 cm² (1)
7
Silinder met radius 3 cm en hoogte 7 cm. Bepaal die volume (π ≈ 3,14).
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
3,14 × 9 × 7 = 197,82 cm³
8
Silinder met radius 3 cm en hoogte 7 cm. Bepaal die buite-oppervlakte (π ≈ 3,14).
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
2(3,14)(9) + 2(3,14)(3)(7) = 56,52 + 131,88 = 188,4 cm²
9
Silinder met radius 2 cm en hoogte 5 cm. Bepaal die volume (π ≈ 3,14).
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
3,14 × 4 × 5 = 62,8 cm³
10
Hoeveel mℓ hou ’n houer van 250 cm³?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
250 mℓ (1 cm³ = 1 mℓ)
11
’n Silinder se hoogte word verdubbel. Wat gebeur met sy volume?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Dit verdubbel (die hoogte word nie gekwadreer nie).
12
’n Silinder se radius word verdubbel. Wat gebeur met sy volume?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Dit word 4 keer groter (r word gekwadreer).