Die middelpuntstelling — Graad 10 Wiskunde (KABV)

Die lyn wat die middelpunte van twee sye van ’n driehoek verbind, is ewewydig aan die derde sy en die helfte van sy lengte — die stelling, die omgekeerde daarvan, en hoe om elkeen in ’n bewys te gebruik.

Dit is een van die nuttigste resultate in Graad 10-meetkunde, en dit is kort genoeg om woord vir woord te leer.

1Die stelling

D en E is die middelpunte van AB en AC. Dan is DE ewewydig aan BC en presies die helfte van sy lengte.

As D en E die middelpunte van AB en AC is, dan is
DE ∥ BC en DE = ½BC

💡

Sê dit as een sin: "die lyn wat die middelpunte van twee sye van ’n driehoek verbind, is ewewydig aan die derde sy en gelyk aan die helfte daarvan." Daardie presiese bewoording is die rede wat jy in ’n bewys aanhaal.

2Gebruik dit om ’n lengte te vind

Uitgewerkte voorbeeldD en E is middelpunte van AB en AC. BC = 14 cm. Bepaal DE.

1
DE = ½BC (middelpuntstelling)
Haal die stelling as jou rede aan.
2
DE = ½ × 14.
3
DE = 7 cm.

Uitgewerkte voorbeeldD en E is middelpunte van AB en AC. DE = 6,5 cm. Bepaal BC.

1
DE = ½BC, dus BC = 2 × DE.
Werk terugwaarts: verdubbel dit.
2
BC = 13 cm.

3Die omgekeerde

Die stelling werk ook omgekeerd, en die omgekeerde word net so dikwels geëksamineer.

As ’n lyn deur die middelpunt van een sy ewewydig is aan ’n tweede sy,
dan halveer dit die derde sy.

Uitgewerkte voorbeeldD is die middelpunt van AB en DE ∥ BC. Bewys dat E die middelpunt van AC is.

1
Bewering: D is die middelpunt van AB (gegee)
2
Bewering: DE ∥ BC (gegee)
3
∴ AE = EC, dus is E die middelpunt van AC (omgekeerde van die middelpuntstelling)
Noem die omgekeerde uitdruklik — dit is wat die punt vir die rede verdien.

⚠️

Die stelling het twee middelpunte nodig; die omgekeerde het een middelpunt plus ’n ewewydige lyn nodig. Kontroleer watter een jy gegee is voordat jy ’n rede aanhaal.

4Waarom dit werk

Verleng DE tot by F sodat DE = EF, en verbind FC.
In △ADE en △CFE: AE = EC (E is die middelpunt van AC), DE = EF (konstruksie) en AÊD = CÊF (regoorstaande hoeke), dus △ADE ≡ △CFE (SHS).
Daarom is FC = AD = DB, en AD̂E = CF̂E maak FC ∥ DB. DBCF het dan een paar teenoorstaande sye wat albei gelyk en ewewydig is, dus is DBCF ’n parallelogram.
Gevolglik is DF ∥ BC en DF = BC. Aangesien DE = ½DF, volg dit dat DE ∥ BC en DE = ½BC.

Dit volg ook dat △ADE ||| △ABC: DE ∥ BC gee gelyke ooreenkomstige hoeke en Â is gemeenskaplik, dus is die twee driehoeke gelykhoekig. Elke sy van △ADE is die helfte van die ooreenstemmende sy van △ABC, en sy oppervlakte is ’n kwart van die oppervlakte van △ABC — oppervlaktes skaal met die KWADRAAT van die syverhouding.

Oefeninge

Werk elkeen uit en klik dan om die antwoord te sien.

📄 Werkkaart ✅ Memo 📝 Eksamenvraestel 🗝️ Nasienriglyn

1
Stel die middelpuntstelling.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Die lyn wat die middelpunte van twee sye van ’n driehoek verbind, is ewewydig aan die derde sy en die helfte van sy lengte.
2
D en E is middelpunte van AB en AC; BC = 14 cm. Bepaal DE.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
7 cm
3
D en E is middelpunte van AB en AC; BC = 25 cm. Bepaal DE.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
12,5 cm
4
D en E is middelpunte; DE = 6,5 cm. Bepaal BC.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
13 cm
5
D en E is middelpunte; DE = 9 cm. Bepaal BC.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
18 cm
6
Stel die omgekeerde van die middelpuntstelling.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
’n Lyn deur die middelpunt van een sy, ewewydig aan ’n tweede sy, halveer die derde sy.
7
D is die middelpunt van AB en DE ∥ BC. Wat kan jy omtrent E aflei?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
E is die middelpunt van AC (omgekeerde van die middelpuntstelling).
8
Waarom is △ADE en △ABC gelykvormig?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
DE ∥ BC gee gelyke ooreenkomstige hoeke en Â is gemeenskaplik, dus is hulle gelykhoekig — en gelykhoekige driehoeke is gelykvormig (AD : AB = AE : AC = 1 : 2).