Trigonometriese vergelykings en algemene oplossings — Graad 11

Die bepaling van die verwysingshoek, die skryf van die algemene oplossing met + k·360° of + k·180°, en dan die lys van die spesifieke oplossings wat binne ’n gegewe interval val.

sin, cos en tan herhaal, dus het ’n vergelyking soos sinθ = 0,5 oneindig baie antwoorde. Die algemene oplossing vang hulle almal in een reël vas.

1Die drie algemene oplossings

Vir ’n positiewe waarde a, met verw. sy verwysingshoek:
sinθ = a ⇒ θ = verw. + k·360° of θ = 180° − verw. + k·360°
cosθ = a ⇒ θ = ±verw. + k·360°
tanθ = a ⇒ θ = verw. + k·180°

k ∈ ℤ — k is enige heelgetal, ’n ander letter as die waarde a

💡

sin kry twee takke, cos kry ±, tan kry 180°. Tan het net 180° nodig omdat dit twee keer so gereeld herhaal as die ander twee.

2Stap 1 — die verwysingshoek

Ignoreer die teken en gebruik die inverse van DIESELFDE verhouding as die vergelyking: verw. = sin⁻¹|a| vir ’n sinusvergelyking, verw. = cos⁻¹|a| vir ’n cosinusvergelyking en verw. = tan⁻¹|a| vir ’n tangensvergelyking. Die verwysingshoek is altyd positief en skerp.

Uitgewerkte voorbeeldBepaal die algemene oplossing van sinθ = 0,5

1
verw. = sin⁻¹(0,5) = 30°.
2
θ = 30° + k·360° of θ = 180° − 30° + k·360°.
sin het albei takke nodig.
3
θ = 30° + k·360° of θ = 150° + k·360°, k ∈ ℤ.
Moet nooit ‘k ∈ ℤ’ weglaat nie — dit dra ’n punt.

3Wanneer die waarde negatief is

Uitgewerkte voorbeeldBepaal die algemene oplossing van cosθ = −0,5

1
verw. = cos⁻¹(0,5) = 60°.
Gebruik die POSITIEWE waarde vir die verwysingshoek.
2
cos is negatief in KII en KIII.
CAST: cos is slegs positief in KI en KIV.
3
In KII: 180° − 60° = 120°.
4
θ = ±120° + k·360°, k ∈ ℤ.
Die ± dek KIII outomaties (−120° = 240°).

4Oplossings in ’n interval lys

Uitgewerkte voorbeeldLos sinθ = 0,5 op vir θ ∈ [0° ; 360°]

1
Algemene oplossing: θ = 30° + k·360° of 150° + k·360°.
2
k = 0: θ = 30° en θ = 150°. Albei is binne die gebied.
3
k = 1: 390° en 510° — te groot. k = −1: −330° en −210° — te klein.
Toets waardes van k totdat jy buite die interval val.
4
θ = 30° of θ = 150°.

5Wanneer die hoek ’n saamgestelde uitdrukking is

Uitgewerkte voorbeeldBepaal die algemene oplossing van tan(2x − 30°) = 1

1
verw. = tan⁻¹(1) = 45°.
2
2x − 30° = 45° + k·180°.
Los eers vir die hele hakie op.
3
2x = 75° + k·180°.
4
x = 37,5° + k·90°, k ∈ ℤ.
Deel ALLES deur 2 — die k-term ingesluit.

⚠️

Die algemeenste fout in hierdie hele onderwerp: om die hoek te deel maar te vergeet om k·180° te deel. Om x = 37,5° + k·180° te skryf, verloor die helfte van die oplossings.

6Wanneer een kant sin en die ander cos is

Die algemene oplossings hierbo vereis dieselfde verhouding aan albei kante. Gebruik die ko-funksies om hulle te laat ooreenstem: sinθ = cos(90° − θ) en cosθ = sin(90° − θ).

Uitgewerkte voorbeeldBepaal die algemene oplossing van cos 2θ = sinθ

1
sinθ = cos(90° − θ), dus cos 2θ = cos(90° − θ).
Nou is albei kante cosinusse.
2
2θ = ±(90° − θ) + k·360°.
cos kry ±.
3
Met +: 2θ = 90° − θ + k·360°, dus 3θ = 90° + k·360° en θ = 30° + k·120°.
Deel elke term deur 3 — die k-term ook.
4
Met −: 2θ = −90° + θ + k·360°, dus θ = −90° + k·360°.
5
θ = 30° + k·120° of θ = −90° + k·360°, k ∈ ℤ.
Kontroleer θ = 30°: cos 60° = 0,5 = sin 30°.

💡

As die vergelyking sin = cos is, verander eerder die cos in ’n sinus en gebruik die twee sinustakke.

Oefeninge

Werk elkeen uit en klik dan om die antwoord te sien.

📄 Werkkaart ✅ Memo 📝 Eksamenvraestel 🗝️ Nasienriglyn

1
Bepaal die algemene oplossing van sinθ = 0,5
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
θ = 30° + k·360° of θ = 150° + k·360°, k ∈ ℤ
2
Bepaal die algemene oplossing van cosθ = −0,5
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
verw. = 60°, cos negatief in KII en KIII →θ = ±120° + k·360°, k ∈ ℤ
3
Bepaal die algemene oplossing van tanθ = √3
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
θ = 60° + k·180°, k ∈ ℤ
4
Los sinθ = 0,5 op vir θ ∈ [0° ; 360°]
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
θ = 30° of θ = 150°
5
Los cosθ = 0,7660 op vir θ ∈ [0° ; 360°] (rond af tot een desimale plek)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
verw. = 40,0° → θ = 40,0° of θ = 320,0°
6
Bepaal die algemene oplossing van tan(2x − 30°) = 1
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
2x − 30° = 45° + k·180° → x = 37,5° + k·90°, k ∈ ℤ
7
Gee die verwysingshoek vir sinθ = 0,8660.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
verw. = sin⁻¹(0,8660) = 60° (tot die naaste graad)
8
Bepaal die algemene oplossing van sin 2θ = cosθ.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
cosθ = sin(90° − θ), dus sin 2θ = sin(90° − θ) (1)
2θ = 90° − θ + k·360° ⇒ 3θ = 90° + k·360° ⇒ θ = 30° + k·120° (1)
of 2θ = 180° − (90° − θ) + k·360° ⇒ θ = 90° + k·360° (1)
θ = 30° + k·120° of θ = 90° + k·360°, k ∈ ℤ (1)
9
Waarom moet k ∈ ℤ neergeskryf word?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Dit sê dat die patroon vir elke heelgetal k herhaal — daarsonder is die oplossing onvolledig en verloor dit ’n punt.