Die identiteite en reduksiereëls wat Vraestel 2-trigonometrie oopbreek — vereenvoudiging, die bewys van identiteite, die gebruik van die CAST-diagram, die reduksie van hoeke en die bepaling van presiese waardes — elkeen volledig uitgewerk, met ’n werkblad.
Ook bekend as: trigonometriese identiteite · reduksieformules · trig-identiteite
In Graad 11 groei trigonometrie verder as reghoekige driehoeke tot identiteite (altyd waar) en reduksieformules (reëls vir hoeke in verskillende kwadrante). Hierdie klein gereedskapstel laat jou toe om uitdrukkings te vereenvoudig, identiteite te bewys en presiese waardes te bepaal.
1Die twee identiteite wat jy moet ken
Die kwadraatidentiteit is die ster: herrangskik dit na sin2θ = 1 − cos2θ of cos2θ = 1 − sin2θ — so word die meeste ‘bewys die identiteit’-vrae oopgebreek.
2Tipe 1: Vereenvoudig ’n uitdrukking
- 1Kanselleer een sinθ: (sinθ·cosθ)/sin2θ = cosθ/sinθ.sin2θ = sinθ × sinθ.
- 2Herken cosθ/sinθ = 1/tanθ.Dit is die omgekeerde van tanθ = sinθ/cosθ.
3Tipe 2: Bewys ’n identiteit
Werk slegs aan die meer ingewikkelde kant, met die identiteite, totdat dit gelyk is aan die ander kant.
- 1Linkerkant: 1 − cos2θ = sin2θ.Herrangskikte kwadraatidentiteit.
- 2Dus LK = sin2θ/cosθ = sinθ · sinθ/cosθ.Verdeel die breuk.
- 3= sinθ · tanθ = RK. ✓Aangesien tanθ = sinθ/cosθ.
4Tipe 3: CAST: teken van ’n verhouding volgens kwadrant
CAST vertel jou watter verhoudings in elke kwadrant positief is: 1ste Al drie positief, 2de slegs Sinus, 3de slegs Tangens, 4de slegs Cosinus.
- 1In die 4de kwadrant is slegs cosinus positief.CAST — die ‘C’-kwadrant.
- 2Dus is sin θ negatief.sin2θ = 1 − 0,36 = 0,64 → sinθ = −0,8 (negatief in K4).
5Tipe 4: Reduksieformules
Reduksieformules herskryf die verhouding van ’n groot of negatiewe hoek in terme van ’n skerp hoek. Die belangrikstes: sin(180° − θ) = sinθ, cos(180° − θ) = −cosθ, sin(360° − θ) = −sinθ, cos(−θ) = cosθ.
- 1180° − θ beland in die 2de kwadrant, waar sinus positief is.CAST: K2 is ‘S’.
- 2Dus sin(180° − θ) = sin θ.Dieselfde skerp verwysingshoek, positiewe teken.
6Tipe 5: Presiese waardes met spesiale hoeke
- 1120° = 180° − 60°, in die 2de kwadrant waar cosinus negatief is.Reduseer na die skerp verwysingshoek 60°.
- 2cos 120° = −cos 60° = −1/2.cos 60° = 1/2; die teken is negatief in K2.
Hou ’n enkele opsommingsbladsy van die identiteite, CAST en reduksiereëls en hersien dit weekliks. In die eksamen is om te herken watter reël om te gebruik, 90% van die stryd.
sin2θ beteken (sinθ)2, nie sin(θ2) nie. Die kwadraat is op die hele verhouding, nie op die hoek nie.
Hierdie gereedskapstel kom regdeur Graad 12 weer voor (identiteite, algemene oplossings, 2D/3D-probleme), dus betaal die moeite hier direk in matriek. Oefen elke soort hieronder.
7Vir watter waardes is die identiteit geldig?
Die ATP vra dat jy bepaal vir watter waardes van ’n veranderlike ’n identiteit geld, en vraestelle vra dit as ’n byvoeging van twee punte by ’n bewys. Die reël is eenvoudig: ’n identiteit faal oral waar dit deling deur nul sou vereis.
cosθ = 0 by 90° en 270°, en by elke hoek ’n volle omwenteling daarvandaan. Die beperking word dus so geskryf:
- 1Die uitdrukking is ongedefinieerd wanneer die noemer nul is: sin θ = 0.Kyk na die noemer, nie na die hele uitdrukking nie.
- 2sin θ = 0 by θ = 0°, 180° en 360°.Binne die gegewe interval.
- 3Die identiteit geld dus vir alle θ behalwe 0°, 180° en 360°.
Wanneer ’n vraag sê “bewys die identiteit en sê vir watter waardes van θ dit ongedefinieerd is”, gaan die tweede deel oor die noemer van die oorspronklike uitdrukking — nie die vereenvoudigde een nie. Vereenvoudiging kan juis die faktor wegkanselleer wat die beperking veroorsaak het.
Om die beperking uit die antwoord te gee in plaas van uit die vraag. As (sinθ cosθ)/cosθ vereenvoudig tot sinθ, is die vereenvoudigde vorm oral gedefinieer — maar die oorspronklike het steeds cosθ ≠ 0 vereis, dus is θ ≠ 90° + k·180° die antwoord.
Oefeninge
Werk elkeen uit en klik dan om die antwoord te sien.
- 1Vereenvoudig sinθ · tanθ · cosθ, en gee die beperking op θ. (vereenvoudig)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
sinθ·sinθ/cosθ·cosθ = sin2θ ✓✓
Die oorspronklike uitdrukking bevat tanθ, dus cosθ ≠ 0, d.w.s. θ ≠ 90° + k·180° ✓ - 2Vereenvoudig (1 − sin2θ). (identiteit)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
cos2θ - 3Vereenvoudig cos2θ/(1 − sin2θ). (identiteit)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
cos2θ/cos2θ = 1 - 4Bewys tanθ · cosθ = sinθ, en sê waar die identiteit nie geld nie. (bewys)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
tanθ = sinθ/cosθ ✓, dus sinθ/cosθ·cosθ = sinθ ✓
tanθ is ongedefinieerd waar cosθ = 0, dus geld die identiteit nie by θ = 90° + k·180° nie ✓ - 5In watter kwadrant is slegs sinus positief? (CAST)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
2de kwadrant - 6sinθ = 0,5, θ in K2. Is cosθ + of −? (CAST)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
K2 → cosinus negatief - 7Vereenvoudig cos(180° − θ). (reduksie)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
−cosθ - 8Vereenvoudig sin(360° − θ). (reduksie)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
−sinθ - 9Presiese waarde van sin 150°. (presies)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
150° = 180° − 30°, K2 sinus + → sin 30° = 1/2 - 10Presiese waarde van cos 210°. (presies)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
210° = 180° + 30°, K3 cosinus − → −cos 30° = (−√3)/2 - 11Vir watter waardes van θ is tanθ ongedefinieerd? Gee die algemene antwoord.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
θ = 90° + k · 180°, k ∈ ℤ ✓✓ (cosθ = 0 daar, en tanθ = sinθ/cosθ) - 12Gee vir θ ∈ [0° ; 360°] die waardes waarvoor (sinθ × tanθ)/cosθ ongedefinieerd is.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
cosθ = 0, dus θ = 90° en θ = 270° ✓✓ - 13Verduidelik waarom die beperking van die OORSPRONKLIKE uitdrukking afgelees moet word en nie van die vereenvoudigde een nie.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Vereenvoudiging kan die faktor wegkanselleer wat die deling deur nul veroorsaak het ✓; die oorspronklike uitdrukking is steeds daar ongedefinieerd, dus bly die beperking staan ✓.
Vinnige vasvra
5 vinnige vrae oor wat jy pas gelees het. Doen dit wanneer jy gereed voel.
Oefen dit nou
Laai Graad 11-vraestelle en -werkkaarte oor hierdie onderwerp af (in Engels).