Trigonometriese verhoudings vir enige hoek — Graad 10 (KABV)

Wat sin, cos en tan beteken sodra die hoek groter as 90° word — die definisies in terme van x, y en r, die CAST-diagram vir tekens, verwysingshoeke, elke verhouding van ’n punt aflees, terugwaarts werk vanaf een verhouding, die omgekeerdes cosec, sec en cot, en ’n Graad 11-voorskou van hoe om ’n trigonometriese vergelyking oor 0° tot 360° op te los.

Ook bekend as: CAST-diagram · verwysingshoek · trigonometriese verhoudings enige hoek · kwadrante trigonometrie · cosec sec cot

Die driehoeksdefinisies (teenoorstaande, aangrensende, skuinssy) werk net binne ’n reghoekige driehoek, dus hanteer hulle net hoeke tussen 0° en 90°. Maar ’n Vraestel 2-vraag sal sonder skroom vra vir sin 210° of jou vertel dat cosθ negatief is. Hierdie les brei die drie verhoudings uit na elke hoek van 0° tot 360° — en die metode hier is die grondslag van al die trigonometrie in Graad 11 en 12.

1Stap 1: plaas die hoek op die Cartesiese vlak

In plaas van ’n driehoek wat op sy eie sweef, teken die hoek in standaardposisie: sy hoekpunt by die oorsprong, een arm langs die positiewe x-as, en die ander arm wat anti-kloksgewys draai. Kies enige punt P(x ; y) op daardie draaiende arm.

Laat ’n loodlyn vanaf P op die x-as neer en jy kry weer ’n reghoekige driehoek — maar nou met koördinate wat ’n teken het.

Die hoek θ word anti-kloksgewys vanaf die positiewe x-as gemeet. β is die verwysingshoek — die skerp hoek tussen die arm en die naaste deel van die x-as.

r = √(x² + y²) en r is altyd positief

Die drie verhoudings word nou deur koördinate gedefinieer, nie deur "teenoorstaande" en "aangrensende" nie:

sin θ = y/r cos θ = x/r tan θ = y/x (x ≠ 0)

💡

Dit is nie nuwe reëls nie. In die eerste kwadrant is y die teenoorstaande sy, x die aangrensende sy en r die skuinssy — dus kom hulle presies neer op die driehoeksdefinisies. Al wat verander, is dat x en y nou negatief mag wees.

2Stap 2: die tekens — die CAST-diagram

Omdat r altyd positief is, hang die teken van elke verhouding slegs af van die tekens van x en y. In die tweede kwadrant is x byvoorbeeld negatief en y positief, dus is cosθ = x/r negatief terwyl sinθ = y/r positief is.

Om dit elke keer uit te werk, is stadig. CAST teken die antwoord aan: elke letter noem die verhouding wat in daardie kwadrant positief is.

Lees CAST anti-kloksgewys vanaf die vierde kwadrant: C, A, S, T. Elke letter merk die verhouding wat daar positief is — alles anders is negatief.

Kwadrant 1 (0°–90°) — Al drie is positief.
Kwadrant 2 (90°–180°) — slegs Sin is positief.
Kwadrant 3 (180°–270°) — slegs Tan is positief.
Kwadrant 4 (270°–360°) — slegs Cos is positief.

⚠️

Moenie CAST kloksgewys van bo af lees nie. Dit begin in die vierde kwadrant met C en loop anti-kloksgewys: C → A → S → T. As jy dit verkeerd om lees, ruil sinus en cosinus om en kos dit jou stilletjies elke teken in die vraag.

3Stap 3: die verwysingshoek

Die verwysingshoek β is die skerp hoek tussen die draaiende arm en die x-as — nooit die y-as nie. Dit is wat jou sakrekenaar jou gee wanneer jy sin⁻¹, cos⁻¹ of tan⁻¹ gebruik, omdat ’n sakrekenaar vir ’n positiewe verhouding altyd net ’n skerp antwoord gee.

Q1: θ = β Q2: θ = 180° − β Q3: θ = 180° + β Q4: θ = 360° − β

Die grootte van die verhouding kom van β; die teken kom van CAST. Dit is die hele metode.

Uitgewerkte voorbeeldBereken sin 210° sonder ’n sakrekenaar

1
210° lê tussen 180° en 270°, dus is dit in Kwadrant 3.
Identifiseer eers die kwadrant — dit bepaal die teken.
2
β = 210° − 180° = 30°
In K3 is die verwysingshoek θ − 180°.
3
In K3 is slegs tan positief, dus is sin 210° negatief.
CAST.
4
sin 210° = −sin 30° = −½
Grootte van die verwysingshoek, teken van CAST.

Uitgewerkte voorbeeldBereken cos 315° en tan 120°

1
315° is in K4, dus β = 360° − 315° = 45°. In K4 is cos positief.
2
cos 315° = +cos 45° = (√2)/2
3
120° is in K2, dus β = 180° − 120° = 60°. In K2 is slegs sin positief, dus is tan negatief.
4
tan 120° = −tan 60° = −√3

4Elke verhouding van ’n punt aflees

As ’n vraag jou ’n punt gee, het jy nooit ’n sakrekenaar nodig nie — jy het x en y, en Pythagoras gee r.

Uitgewerkte voorbeeldP(−3 ; 4) lê op die arm van θ. Bepaal sin θ, cos θ en tan θ.

1
x = −3, y = 4
Lees hulle direk van die punt af — behou die tekens.
2
r = √((−3)² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5
r is ’n lengte, dus is dit altyd positief.
3
sin θ = y/r = 4/5
4
cos θ = x/r = (−3)/5
Negatief, omdat die punt links van die y-as is.
5
tan θ = y/x = 4/(−3) = (−4)/3
6
Kontroleer: P is in K2, waar slegs sin positief is. Sinus het positief uitgekom; cosinus en tangens negatief. ✓
Kontroleer altyd teen CAST — dit vang ’n weggelate minusteken.

5Terugwaarts werk vanaf een verhouding

Die moeiliker weergawe gee jou een verhouding plus ’n voorwaarde, en vra vir die ander. Moenie na die sakrekenaar gryp nie — skets eerder die punt.

Uitgewerkte voorbeeldAs sin θ = 5/13 en cos θ < 0, bepaal cos θ en tan θ.

1
sin θ is positief en cos θ is negatief → Kwadrant 2.
Twee tekenvoorwaardes bepaal die kwadrant.
2
sin θ = y/r, dus y = 5 en r = 13.
Pas die verhouding by die definisie.
3
x² = r² − y² = 169 − 25 = 144, dus x = ±12.
Pythagoras.
4
In K2 is x negatief, dus x = −12.
Die kwadrant besluit watter wortel om te neem — dit is die stap wat die meeste leerders oorslaan.
5
cos θ = x/r = (−12)/13 en tan θ = y/x = (−5)/12

⚠️

Om x = +12 te neem omdat Pythagoras ’n positiewe antwoord gegee het. Pythagoras gee jou die lengte; die kwadrant vertel jou die teken. Die helfte van die punte in hierdie soort vraag is daarvoor om daardie minusteken reg te kry.

6Die omgekeerde verhoudings: cosec, sec en cot

Elke verhouding het ’n omgekeerde, en hulle word in Graad 10 geëksamineer.

cosec θ = 1/(sin θ) = r/y sec θ = 1/(cos θ) = r/x cot θ = 1/(tan θ) = x/y
Elkeen is ongedefinieerd waar sy noemer 0 is: cosec en cot vereis y ≠ 0, sec vereis x ≠ 0.

💡

Die paring is doelbewus lastig: cosec hoort by sin en sec hoort by cos — nie andersom nie. Pas hulle by mekaar aan die hand van die derde letter: cosec → sin, sec → cos.

’n Omgekeerde het dieselfde teken as die verhouding waarvan dit kom, dus dek CAST al ses. En aangesien jy nie deur nul kan deel nie, is cosecθ ongedefinieerd oral waar sinθ = 0 (by 0°, 180°, 360°) en is secθ ongedefinieerd by 90° en 270°.

7Vooruitskouing: Graad 11 — oplos oor 0° tot 360°

Alles hierbo is Graad 10-werk. Om ’n trigonometriese vergelyking op te los, is dit nie, sodra die interval verder as 90° strek nie: in Graad 10 los jy eenvoudige trigonometriese vergelykings slegs vir hoeke tussen 0° en 90° op (dit is die les Spesiale hoeke, omgekeerde verhoudings en trigonometriese vergelykings). Die res van hierdie afdeling is die Graad 11-stap, hier geplaas sodat jy kan sien waarheen CAST en die verwysingshoek lei. Dit word nie in Graad 10 geëksamineer nie, en niks hieronder word in hierdie les se oefening, toets of vraestel gevra nie.

💡

Direk uit die ATP. Graad 10: “Los eenvoudige trigonometriese vergelykings op vir hoeke tussen 0° en 90°” en “Gebruik ’n diagram om die numeriese waardes van verhoudings vir hoeke van 0° tot 360° te bepaal” — dus is die berekening van enige verhouding in 0°–360° nou joune; die oplos oor daardie gebied is nie. Graad 11: “Bepaal die algemene oplossings van trigonometriese vergelykings. Bepaal ook oplossings in spesifieke intervalle.”

Nou kom die stukke saam. ’n Vraag wat vir alle oplossings in ’n interval vra, wil een antwoord hê vir elke kwadrant waar die teken werk.

Uitgewerkte voorbeeldLos op: 2 sin θ + 1 = 0 vir θ ∈ [0° ; 360°]

1
2 sin θ = −1, dus sin θ = −½
Isoleer eers die verhouding — altyd.
2
Verwysingshoek: sin β = ½, dus β = 30°.
Gebruik die POSITIEWE waarde om β te vind. Die sakrekenaar gee slegs skerp hoeke.
3
sin θ is negatief in K3 en K4.
CAST: sin is slegs in K1 en K2 positief.
4
Q3: θ = 180° + 30° = 210°
5
Q4: θ = 360° − 30° = 330°
6
θ = 210° of θ = 330°
Twee oplossings in die interval — ’n enkele antwoord sou die helfte van die punte verloor.

⚠️

As jy sin⁻¹(−0,5) in ’n sakrekenaar intik, kry jy −30°, wat nie in die interval is nie, en as jy daar stop, het jy glad geen geldige antwoord nie. Vind β vanaf die positiewe verhouding, en plaas dit dan self in die korrekte kwadrante.

8Die Graad 11-roetine, elke keer

Isoleer die verhouding (kry sin θ = … op sy eie).
Vind die verwysingshoek β vanaf die positiewe waarde.
Gebruik CAST om te besluit watter kwadrante die teken toelaat.
Skakel β om na θ in elk van daardie kwadrante: β, 180° − β, 180° + β, 360° − β.
Kontroleer dat elke antwoord binne die gegewe interval val.

Oefeninge

Werk elkeen uit en klik dan om die antwoord te sien.

📄 Werkkaart ✅ Memo 📝 Eksamenvraestel 🗝️ Nasienriglyn

1
Skryf neer in watter kwadrant 235° lê, en sê watter van sin, cos en tan daar positief is.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Kwadrant 3; slegs tan is positief.
2
Bepaal die verwysingshoek vir θ = 295°.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
K4, dus β = 360° − 295° = 65°
3
Bereken cos 150° sonder om ’n sakrekenaar te gebruik.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
K2, β = 30°, cos is negatief in K2, dus cos 150° = −cos 30° = −(√3)/2
4
Bereken tan 225° sonder om ’n sakrekenaar te gebruik.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
K3, β = 45°, tan is positief in K3, dus tan 225° = +tan 45° = 1
5
P(−8 ; −6) lê op die arm van θ. Bepaal sinθ, cosθ en tanθ.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
r = √(64 + 36) = 10 ✓; sinθ = −6/10 = −3/5 ✓; cosθ = −8/10 = −4/5 ✓; tanθ = −6/−8 = 3/4 ✓ (K3, dus is slegs tan positief)
6
As cosθ = 8/17 en sinθ < 0, bepaal sinθ en tanθ.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
cos positief, sin negatief → K4. x = 8, r = 17, y² = 289 − 64 = 225, y = ±15; in K4 is y negatief, dus y = −15. sinθ = −15/17, tanθ = −15/8
7
Skryf die waarde van cosec 30° neer.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
cosec 30° = 1 ÷ sin 30° = 1 ÷ ½ = 2
8
Verduidelik waarom sec 90° ongedefinieerd is.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
secθ = 1/cosθ en cos 90° = 0; deling deur nul is ongedefinieerd.
9
Bereken cosec 210° sonder om ’n sakrekenaar te gebruik.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
210° is in K3, dus β = 210° − 180° = 30°; in K3 is slegs tan positief, dus sin 210° = −sin 30° = −½; cosec 210° = 1 ÷ (−½) = −2
10
Toon sonder om ’n sakrekenaar te gebruik dat sin 150° + cos 300° = 1.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
sin 150°: K2, β = 180° − 150° = 30°, en sin is positief in K2, dus sin 150° = +sin 30° = ½; cos 300°: K4, β = 360° − 300° = 60°, en cos is positief in K4, dus cos 300° = +cos 60° = ½; ½ + ½ = 1