Derdegraadse grafieke skets — Graad 12 Wiskunde (KABV)

Die gebruik van die afgeleide om stasionêre punte te bepaal, te besluit watter ’n maksimum en watter ’n minimum is, die buigpunt te vind, en alles saam in ’n skets te sit.

1Wat om te bepaal, in volgorde

Afsnitte — y-afsnit: laat x = 0; x-afsnitte: faktoriseer.
Stasionêre punte — los f′(x) = 0 op.
Aard van elkeen — maksimum of minimum.
Buigpunt — los f″(x) = 0 op.

2Uitgewerkte voorbeeld

Uitgewerkte voorbeeldSkets f(x) = x³ − 3x² − 9x + 5

1
y-afsnit: f(0) = 5.
Laat x = 0.
2
f′(x) = 3x² − 6x − 9.
Differensieer term vir term.
3
3(x² − 2x − 3) = 0 → 3(x − 3)(x + 1) = 0.
Haal eers die 3 uit — dit maak die faktorisering eenvoudig.
4
x = 3 of x = −1.
Die twee stasionêre punte.
5
f(−1) = −1 − 3 + 9 + 5 = 10 → (−1 ; 10).
6
f(3) = 27 − 27 − 27 + 5 = −22 → (3 ; −22).
7
Aangesien a > 0 styg die grafiek, dus is (−1 ; 10) die maksimum en (3 ; −22) die minimum.
Vir ’n positiewe derdegraadse funksie is die LINKER stasionêre punt altyd die maksimum.
8
f″(x) = 6x − 6 = 0 → x = 1, en f(1) = −6.
Buigpunt by (1 ; −6) — presies halfpad tussen die draaipunte.

💡

Die buigpunt van ’n derdegraadse grafiek lê altyd halfpad tussen die twee stasionêre punte. Hier is (−1 + 3)/2 = 1. Gebruik dit as ’n gratis kontrole op jou werk.

3Besluit: maksimum of minimum

f″(x) < 0 ⇒ maksimum (konkaaf af)
f″(x) > 0 ⇒ minimum (konkaaf op)

Vir f″(x) = 6x − 6: by x = −1, f″ = −12 < 0, dus is dit ’n maksimum. By x = 3, f″ = 12 > 0, dus is dit ’n minimum. ✓

4Waar is die grafiek stygend?

f is stygend waar f′(x) > 0 en dalend waar f′(x) < 0. Vir hierdie grafiek styg dit vir x < −1 en x > 3, en daal dit vir −1 < x < 3.

⚠️

‘Konkaaf op’ gaan oor f″, nie f′ nie. Die grafiek is konkaaf op vir x > 1 — dit is waar f″(x) = 6x − 6 positief is — al is dit steeds dalend tussen 1 en 3.

Oefeninge

Werk elkeen uit en klik dan om die antwoord te sien.

📄 Werkkaart ✅ Memo 📝 Eksamenvraestel 🗝️ Nasienriglyn

1
Bepaal die y-afsnit van f(x) = x³ − 3x² − 9x + 5.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
f(0) = 5
2
Bepaal die koördinate van die stasionêre punte van f(x) = x³ − 3x² − 9x + 5.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
f′(x) = 3(x − 3)(x + 1) = 0 → (−1 ; 10) en (3 ; −22)
3
Sê, met ’n rede, watter stasionêre punt die lokale maksimum is.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
(−1 ; 10), omdat f″(−1) = −12 < 0 (konkaaf af).
4
Bepaal die koördinate van die buigpunt.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
f″(x) = 6x − 6 = 0 → x = 1 → (1 ; −6)
5
Vir watter waardes van x is f dalend?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
−1 < x < 3
6
Vir watter waardes van x is f konkaaf op?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
f″(x) > 0 → x > 1
7
Waar lê die buigpunt van ’n derdegraadse grafiek altyd relatief tot die draaipunte?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Presies halfpad tussen hulle.
8
Bepaal die stasionêre punte van g(x) = x³ − 12x.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
g′ = 3x² − 12 = 0 → x = ±2 → (2 ; −16) en (−2 ; 16)