Optimering en tempo van verandering — Graad 12 (KABV)

Die opstel van ’n formule uit ’n beskryfde situasie, die differensiasie daarvan om die maksimum of minimum te bepaal, en die interpretasie van ’n afgeleide as ’n tempo van verandering — insluitend snelheid en versnelling.

1Die optimeringsresep

Skryf die hoeveelheid wat geoptimeer moet word, as ’n formule.
Gebruik die gegewe beperking om dit in terme van EEN veranderlike te kry.
Differensieer en stel die afgeleide gelyk aan nul.
Los op, verwerp onmoontlike antwoorde, en beantwoord die vraag wat gevra is.

💡

Stap 2 is waar die punte verloor word. Gebruik eers die gegewe beperking om die hoeveelheid wat jy optimeer in terme van EEN veranderlike te skryf; differensieer eers dan daardie uitdrukking met een veranderlike.

Uitgewerkte voorbeeld’n Reghoek het ’n omtrek van 40 m. Bepaal die maksimum moontlike oppervlakte.

1
Laat die breedte x wees en die lengte y. Dan is 2x + 2y = 40, dus y = 20 − x.
Die beperking, gebruik om y te elimineer.
2
A = xy = x(20 − x) = 20x − x².
Nou in een veranderlike.
3
dA/dx = 20 − 2x.
4
20 − 2x = 0 → x = 10.
Stel die afgeleide gelyk aan nul.
5
A = 10(20 − 10) = 100 m².
’n Vierkant gee die maksimum oppervlakte — soos altyd vir ’n vaste omtrek.

2Tempo van verandering

dy/dx = die tempo waarteen y verander ten opsigte van x

snelheid v(t) = s′(t) · versnelling a(t) = v′(t) = s″(t)

Uitgewerkte voorbeeld’n Bal se hoogte is s(t) = 20t − 5t² meter na t sekondes. Bepaal sy snelheid by t = 1 en wanneer dit die grond tref.

1
v(t) = s′(t) = 20 − 10t.
Snelheid is die afgeleide van verplasing.
2
v(1) = 20 − 10 = 10 m·s⁻¹.
Positief, dus styg dit nog.
3
Dit tref die grond wanneer s = 0: 20t − 5t² = 0 → 5t(4 − t) = 0.
4
t = 4 sekondes (verwerp t = 0, die oomblik toe dit gegooi is).
5
v(4) = 20 − 40 = −20 m·s⁻¹.
Negatief beteken dit beweeg afwaarts.

Die bal bereik sy maksimum hoogte wanneer v(t) = 0, d.w.s. 20 − 10t = 0, dus t = 2 s en s(2) = 40 − 20 = 20 m.

⚠️

’n Negatiewe snelheid beteken nie ‘stadiger word’ nie. Dit beteken beweging in die teenoorgestelde rigting. Die bal by t = 4 val vinnig.

Oefeninge

Werk elkeen uit en klik dan om die antwoord te sien.

📄 Werkkaart ✅ Memo 📝 Eksamenvraestel 🗝️ Nasienriglyn

1
’n Reghoek het ’n omtrek van 40 m. Bepaal sy maksimum moontlike oppervlakte.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
A = x(20 − x), A′ = 20 − 2x = 0 → x = 10 → 100 m²
2
Die hoogte van ’n bal is s(t) = 20t − 5t². Bepaal sy snelheid na 1 sekonde.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
v(t) = 20 − 10t → v(1) = 10 m·s⁻¹
3
Bepaal vir dieselfde bal wanneer dit sy maksimum hoogte bereik.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
v = 0 → 20 − 10t = 0 → t = 2 s
4
Bepaal vir dieselfde bal sy maksimum hoogte.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
s(2) = 40 − 20 = 20 m
5
Bepaal vir dieselfde bal sy snelheid wanneer dit die grond tref.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
s = 0 by t = 4 → v(4) = −20 m·s⁻¹
6
Bepaal die versnelling van die bal.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
a(t) = v′(t) = −10 m·s⁻² (konstant)
7
Waarom moet jy die beperking gebruik voordat jy differensieer?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Die hoeveelheid moet in terme van een veranderlike geskryf word voordat jy kan bepaal waar sy afgeleide nul is ✓; die beperking is wat jou toelaat om die tweede veranderlike te vervang ✓
8
Wat vertel ’n negatiewe snelheid jou?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Die voorwerp beweeg in die teenoorgestelde rigting (hier afwaarts).